Modale Interpretationen der Quantenmechanik – Olimpia Lombardi, Dennis Dieks

Quelle: Modal Interpretations of Quantum Mechanics (Stanford Encyclopedia of Philosophy)

Die ursprüngliche „modale Interpretation” der nichtrelativistischen Quantentheorie entstand in den frühen 1970er Jahren, und zu dieser Zeit bezog sich der Begriff auf eine einzige Interpretation. Heute umfasst der Begriff eine ganze Klasse von Interpretationen und wird am besten als allgemeiner Ansatz zur Interpretation der Quantentheorie verstanden. Wir werden die Geschichte der modalen Interpretationen beschreiben, wie der Begriff zu dieser Verwendung gekommen ist und das allgemeine Programm (zumindest einiger) Befürworter dieses Ansatzes.

1. Der Ursprung des modalen Ansatzes

In traditionellen Ansätzen der Quantenmesstheorie spielt das Projektionspostulat eine zentrale Rolle, das besagt, dass sich der Zustand eines physikalischen Systems bei der Messung diskontinuierlich verändert: Er wird auf einen Eigenzustand projiziert („kollabiert“), der dem Messergebnis entspricht. Dieses Postulat führt zu vielen Schwierigkeiten: Wann genau findet ein Kollaps statt? Was definiert eine „Messung“ im Gegensatz zu einer gewöhnlichen physikalischen Wechselwirkung? Das Postulat ist besonders problematisch, wenn es auf verschränkte Verbundsysteme angewendet wird, deren Komponenten räumlich weit voneinander entfernt sind. Im Einstein-Podolsky-Rosen-Experiment (EPR) gibt es beispielsweise strenge Korrelationen zwischen zwei Systemen, die in der Vergangenheit miteinander interagiert haben, obwohl die korrelierten Größen in den einzelnen Systemen nicht scharf definiert sind. Das Projektionspostulat impliziert in diesem Fall, dass der Kollaps, der sich aus einer Messung an einem der Systeme ergibt, augenblicklich eine scharf definierte Eigenschaft im entfernten anderen System definiert. (Siehe die Diskussion des Kollaps- oder Projektionspostulats im Eintrag zu philosophischen Fragen der Quantentheorie.)

Einen möglichen Ausweg aus diesen Problemen fand van Fraassen (1972, 1974, 1991), der vorschlug, das Projektionspostulat aus der Theorie zu streichen und den verbleibenden Formalismus der unitären Quantenmechanik probabilistisch zu interpretieren. Van Fraassens Interpretation stützte sich auf die Unterscheidung zwischen dem „dynamischen Zustand” und dem „Wertzustand” eines Systems zu jedem Zeitpunkt:

• Der dynamische Zustand bestimmt, was möglicherweise der Fall ist: welche physikalischen Eigenschaften das System besitzen kann und welche Wahrscheinlichkeiten mit diesen Möglichkeiten verbunden sind.
• Der Wertzustand repräsentiert, was tatsächlich der Fall ist, d. h. alle physikalischen Eigenschaften des Systems, die zu dem betreffenden Zeitpunkt genau definiert sind.

Der dynamische Zustand ist der gewöhnliche Quantenzustand, der in der Schrödinger-Gleichung (in der nichtrelativistischen Quantenmechanik) auftritt, d. h. ein Vektor oder eine Dichtematrix im Hilbertraum, mit der Maßgabe, dass er sich immer unitar entwickelt und somit niemals kollabiert.

Der Grund für die Unterscheidung zwischen dynamischem Zustand und Wertzustand ist die Vorstellung, dass ein System einen scharfen Wert einer Observablen haben kann, auch wenn sein sich unitar entwickelnder Zustand kein Eigenzustand dieser Observablen ist. Dieser Gedanke widerspricht der sogenannten „Eigenzustands-Eigenwert-Verbindung”, die besagt, dass ein System einen scharfen Wert einer Observablen (nämlich einen seiner Eigenwerte) genau dann besitzt, wenn sein Quantenzustand der entsprechende Eigenzustand ist. Der modale Ansatz akzeptiert den „wenn”-Teil, lehnt jedoch den „nur wenn”-Teil dieser Aussage ab. Van Fraassen führte dementsprechend den Begriff des „Wertzustands” ein: Die physikalischen Eigenschaften eines Systems (die scharf definierten Observablen) werden nicht eins zu eins durch den dynamischen Zustand repräsentiert, der in der Evolutionsgleichung vorkommt, sondern durch den Wertzustand, der sich in der Regel vom dynamischen Zustand unterscheidet.

Van Fraassen nannte seinen Vorschlag „modal”, weil er sich auf natürliche Weise mit einer modalen Logik von Quantenaussagen verbindet. Tatsächlich sagt uns der dynamische Zustand im Allgemeinen nur, was möglich ist, und gibt die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Möglichkeiten an. Laut van Fraassen ist dieser modale und probabilistische Aspekt für die Quantenmechanik von grundlegender Bedeutung und sollte nicht als Folge einer Unvollständigkeit der Beschreibung angesehen werden (siehe Bueno 2014 für den Zusammenhang zwischen diesem Aspekt und van Fraassens konstruktivem Empirismus).

Was sind dann die bestimmten Größen und Wertzustände für ein gegebenes System zu einem bestimmten Zeitpunkt? Empirische Adäquanz erfordert, dass im Falle einer Messung der Wertzustand des Messgeräts nach der Messung einem bestimmten Messergebnis entspricht. Daher muss das Schema mindestens das Bornsche Wahrscheinlichkeitsmaß über Wertzustände generieren, die die möglichen Messergebnisse darstellen. Van Fraassens Interpretation ging nicht darüber hinaus; sie spezifizierte keine präzisen Wertzustände außerhalb von Messsituationen und verteidigte den Agnostizismus hinsichtlich der Eigenschaften physikalischer Systeme im Allgemeinen (siehe Ruetsche 1996 für eine kritische Diskussion zu diesem Punkt).

Es ist leicht zu erkennen, wie diese Ideen zu einem Programm für eine ausgefeiltere modale Interpretation der Quantentheorie motivieren könnten, die physikalischen Systemen auch dann bestimmte Eigenschaften zuweist, wenn keine Messungen stattfinden. Zu diesem allgemeineren modalen Programm wenden wir uns nun zu.

2. Allgemeine Merkmale modaler Interpretationen

In den 1980er Jahren präsentierten mehrere Autoren realistische Interpretationen, die als Variationen der eben erwähnten modalen Themen angesehen werden können (für einen Überblick und Referenzen siehe Dieks und Vermaas 1998). Es gibt Unterschiede zwischen diesen modalen Interpretationen, aber alle stimmen in den folgenden Punkten überein:

• Die Interpretation sollte auf dem Standardformalismus der Quantenmechanik ohne das Projektionspostulat basieren: Eine modale Interpretation ist eine „Nicht-Kollaps-Interpretation”, d. h. eine Interpretation der unitären Quantenmechanik.
• Die Interpretation sollte insofern „realistisch” sein, als sie davon ausgeht, dass Quantensysteme immer eine Reihe von bestimmten Eigenschaften besitzen, die sich mit der Zeit ändern können.
• Die Quantenmechanik wird als universell angesehen: Sie gilt sowohl für mikroskopische als auch für makroskopische Systeme.
• Der sich unitarisch entwickelnde Zustand des Systems enthält Informationen über die möglichen physikalischen Eigenschaften des Systems und die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten. Es besteht also eine probabilistische Beziehung zwischen dem dynamischen Zustand und den physikalischen Möglichkeiten (dargestellt durch mögliche Wertzustände).
• Eine Quantenmessung ist eine gewöhnliche physikalische Wechselwirkung, bei der sich der dynamische Zustand immer unitarisch entwickelt.

Das Kochen-Specker-Theorem (1967) stellt ein Hindernis für jede traditionelle realistische Interpretation der Quantenmechanik dar, da es die Unmöglichkeit beweist, allen physikalischen Größen (Beobachtungsgrößen) eines Quantensystems gleichzeitig präzise Werte zuzuweisen und dabei die funktionalen Beziehungen zwischen kommutierenden Beobachtungsgrößen zu erhalten. (Siehe den Eintrag zum Kochen-Specker-Theorem.) Daher sind realistische Nicht-Kollaps-Interpretationen darauf angewiesen, aus allen Observablen eine (boolesche) Teilmenge von Observablen mit bestimmten Werten auszuwählen. Jede modale Interpretation liefert somit eine „Regel der Zuordnung bestimmter Werte” oder „Aktualisierungsregel”, die aus der Menge aller Observablen eines Quantensystems die Teilmenge der Eigenschaften mit bestimmten Werten herausgreift, die sich im Laufe der Zeit ändern können.

Wie sollte diese Aktualisierungsregel aussehen? Mitte der 1990er Jahre setzten sich eine Reihe von Autoren mit dieser Frage auseinander (Clifton 1995a, 1995b, Dickson 1995a, 1995b). Diese Autoren schlugen Bedingungen vor, die eine Aktualisierungsregel erfüllen muss, die eine Menge von Möglichkeiten rein aus dem dynamischen Zustand definiert, und kamen zu dem Schluss, dass die möglichen Wertzustände der Komponenten eines zweiteiligen Verbundsystems durch die Zustände gegeben sein sollten, die in der Schmidt-Zerlegung (bi-orthogonale Zerlegung) des dynamischen Zustands auftreten, oder, äquivalent, durch die Projektoren, die in der Spektralzerlegung der Dichtematrizen auftreten, die Teilsysteme darstellen (die durch partielle Verfolgung erhalten werden) – siehe Abschnitt 4 für Details.

Das Problem der eindeutig bewerteten Eigenschaften wurde von Bub und Clifton (1996) allgemeiner angegangen (eine verbesserte Version findet sich bei Bub, Clifton und Goldstein 2000). Diese Autoren gingen von der Annahme aus, dass die eindeutig bewertete Teilmenge durch den dynamischen Zustand |ϕ⟩ plus eine „privilegierte Observable” R bestimmt wird, die eine Eigenschaft repräsentiert, die a priori immer eindeutig bewertet ist. Aus dieser Perspektive kam Bub (1992, 1994, 1997) zu dem Schluss, dass im Nachhinein eine Reihe traditioneller Interpretationen der Quantentheorie als modale Interpretationen betrachtet werden könnten. Dazu gehören (nach Bub) die Dirac-von-Neumann-Interpretation und die Bohr-Interpretation sowie, als eindeutigerer Fall, die Bohm-Theorie. Tatsächlich handelt es sich bei dieser Theorie (Bohm 1952) um eine modale Nicht-Kollaps-Interpretation mit der Position als privilegierter Observablen R. Ein neuerer Vorschlag für ein modales Schema unter Verwendung einer privilegierten Observablen ist die modale Hamilton-Interpretation (siehe Abschnitt 8).

3. Beziehung zu anderen Interpretationen, die keinen Kollaps voraussetzen

Der Vorschlag, auf das Projektionspostulat zu verzichten, wurde auch von anderen gemacht, bevor van Fraassen seine Arbeit veröffentlichte. Insbesondere Bohms Theorie der versteckten Variablen (der bereits Vorschläge von de Broglie aus den 1920er Jahren vorausgingen) und Everetts (1957) Schema der relativen Zustände (das von De Witt (1970) zur Viele-Welten-Interpretation weiterentwickelt wurde) folgten diesem Ansatz. Nach Bohms Theorie bestehen physikalische Systeme aus Teilchen, die immer bestimmte Positionen einnehmen, während die Wellenfunktion die Wahrscheinlichkeiten angibt, die mit den verschiedenen möglichen Werten dieser Positionen verbunden sind. In Bohms Theorie gibt es keine Zusammenbrüche: Die Wellenfunktion entwickelt sich zu jeder Zeit unitarisch. Daher qualifiziert sich die Theorie als modale Interpretation der Quantenmechanik: Der Zustand bestimmt eine Reihe möglicher Teilchenkonfigurationen und gibt die Wahrscheinlichkeiten an, mit denen diese Möglichkeiten tatsächlich realisiert werden.

Auch Everett (1957) schloss Zusammenbrüche aus, sodass nach einer Messung das Objektsystem und das Messgerät (oder der Beobachter) in einer verschränkten Überlagerung enden. Um diese Beschreibung mit der Einzigartigkeit unserer Erfahrung in Einklang zu bringen, führte Everett den Begriff des relativen Zustands ein: Einzelne Terme der Überlagerung repräsentieren verschiedene bestimmte Messergebnisse, und relativ zu den entsprechenden Gerätzuständen besitzen auch die Objektsysteme bestimmte Eigenschaften. Dieser interpretative Schritt wurde von DeWitt und anderen zu der Idee weiterentwickelt, dass alle in der Überlagerung nach der Messung dargestellten Messergebnisse realisiert werden: Bei einer Messung werden Welten vervielfacht, und in jeder Welt wird ein anderes Messergebnis bestimmt.

Historisch gesehen ist unklar, ob diese Idee vieler koexistierender Welten mit Everetts eigener Ansicht übereinstimmt: Everett erklärte, dass die Wellenfunktion dazu dient, uns eine Reihe von faktischen und kontrafaktischen Beschreibungen der Welt, in der wir leben, zu liefern, was darauf hindeutet, dass er seine Relativzustandsinterpretation eher als eine Theorie über eine einzige Welt betrachtete. Dies würde Everetts Interpretation zu einer modalen Interpretation machen (siehe für eine ausführliche Diskussion Dieks 2022a).

Das Merkmal, das modale Interpretationen von anderen Nicht-Kollaps-Interpretationen unterscheidet, ist, dass modale Interpretationen sich auf eine einzige Welt beziehen, über die sie „modale Aussagen” machen, d. h. Aussagen über Möglichkeiten und deren Wahrscheinlichkeiten. Auch Rovellis relationale Interpretation (1996) weist physikalischen Systemen auf probabilistische Weise Eigenschaften einer einzigen Welt zu, ohne einen Zusammenbruch anzunehmen. Sie kann daher ebenfalls zur Familie der modalen Interpretationen gezählt werden, in diesem Fall zu den modalen Interpretationen relationaler oder perspektivischer Art, siehe Abschnitt 7 und (Dieks 2022b).

4. Biorthogonale Zerlegung und spektrale Zerlegung – modale Interpretationen

Wir wenden uns nun den modalen Interpretationen zu, in denen die Menge der physikalischen Möglichkeiten durch den (dynamischen) Quantenzustand eines Systems bestimmt wird (siehe vorletzter Absatz von Abschnitt 2).

In der biorthogonalen Zerlegung (BDMI, manchmal auch als „modale Interpretation von Kochen-Dieks” bezeichnet, Kochen 1985, Dieks 1988, 1989) werden die eindeutig bewerteten Observablen durch die biorthogonale (Schmidt-)Zerlegung des Zustands ausgewählt.

Biorthogonales Zerlegungstheorem:
Gegeben sei ein Vektor |ψ⟩ in einem Tensorprodukt-Hilbertraum \( \mathcal{H} \)¹ ⊗ \( \mathcal{H} \)². Dann existieren Basen {|a_i⟩} und {|p_i⟩} für \( \mathcal{H} \)¹ bzw. \( \mathcal{H} \)², sodass |ψ⟩ als Linearkombination von Termen der Form |a_i⟩ ⊗ |p_i⟩ geschrieben werden kann. Sind die Absolutwerte (Moduli) der Koeffizienten in dieser Linearkombination alle ungleich, dann sind die Basen eindeutig (siehe beispielsweise Schrödinger 1935 für einen Beweis).

Auf die Quantenmechanik angewendet besagt der Satz, dass bei einem zusammengesetzten System, das aus zwei Teilsystemen besteht, sein Zustand (in vielen Fällen eindeutig) eine Basis für jedes der Teilsysteme auswählt. In der BDMI werden diese Basen verwendet, um die eindeutig definierten Eigenschaften der entsprechenden Teilsysteme zu erzeugen: Die eindeutig definierten Observablen sind diejenigen, die mit allen Projektionen auf diese Basisvektoren kommutieren.

BDMI kann direkt auf das Quantenmessproblem angewendet werden. Betrachten wir eine ideale Messung nach dem Standardmodell von von Neumann, in dem eine Quantenmessung eine Wechselwirkung zwischen einem System S und einem Messgerät M ist. Vor der Wechselwirkung wird M in einen messbereiten Zustand |p₀⟩ versetzt, dem Eigenvektor der messbaren Größe P von M, und der Zustand von S ist eine Überlagerung der Eigenzustände |a_i⟩ einer Observablen A von S. Die Wechselwirkung führt zu einer Korrelation zwischen den Eigenzuständen |a_i⟩ von A und den Eigenzuständen |p_i⟩ von P:

In diesem Fall wird gemäß der BDMI-Aktualisierungsregel der bevorzugte Kontext des gemessenen Objektsystems S durch die Menge {|a_i⟩} definiert und der bevorzugte Kontext des Messgeräts M durch die Menge {|p_i⟩}. Daher ist die Zeigerposition eine eindeutig bewertete Eigenschaft des Geräts: Als Ergebnis der Wechselwirkung mit dem Objektsystem erhält der Zeiger einen seiner möglichen Werte (Eigenwerte) p_i. Ebenso ist nach der Wechselwirkung die gemessene Observable eine eindeutig bewertete Eigenschaft des Objektsystems und erhält einen ihrer möglichen Werte (Eigenwerte) a_i.

Obwohl diese modale Interpretation durch die zentrale Rolle der biorthogonalen Zerlegung gekennzeichnet ist, lassen sich zwei verschiedene Versionen unterscheiden. Eine davon geht von einer Metaphysik aus, in der alle Eigenschaften relational sind, sodass die Tatsache, dass die Anwendung der Interpretation auf Teilsysteme eines aus zwei Komponenten bestehenden Verbundsystems beschränkt ist, kein Problem darstellt (Kochen 1985). Diese Beziehung wird als „Bezeugen” bezeichnet: Eigenschaften werden vom System nicht absolut besessen, sondern nur, wenn sie von einem anderen System „bezeugt” werden. Betrachten wir die oben beschriebene Messung: Der Zeiger „bezeugt” den Wert, den die gemessene Observable des gemessenen Systems angenommen hat.

Im Gegensatz dazu haben die Eigenschaften, die dem System zugeschrieben werden, gemäß der anderen Version keinen relationalen Charakter. Dieser Vorschlag wirft daher Fragen hinsichtlich der Konsistenz auf, wenn es darum geht, beobachtbaren Größen bestimmte Werte zuzuweisen, je nachdem, wie das Gesamtsystem in Komponenten unterteilt wird. Betrachten wir beispielsweise das dreikomponentige Verbundsystem αβχ. Wir könnten den biorthogonalen Zerlegungssatz auf das zweikomponentige System (i) α(βχ), oder (ii) β(χα) oder (iii) χ(αβ) anwenden. Nehmen wir an, dass infolgedessen im Fall (i) das System α die bestimmte Eigenschaft P hat, im Fall (ii) das System β die bestimmte Eigenschaft Q hat und im Fall (iii) das System αβ die bestimmte Eigenschaft R hat. In welcher Beziehung stehen die bestimmten Eigenschaften von α und β zu denen von αβ? Sind die bestimmten Werteigenschaften des Systems αβ P&Q oder R oder beide?

Eine Verallgemeinerung ist die spektrale Zerlegung der modalen Interpretation (SDMI, Vermaas und Dieks 1995). SDMI basiert auf der spektralen Zerlegung des reduzierten Dichteoperators: Die definitiv bewerteten Eigenschaften Π_i eines Systems und ihre entsprechenden Wahrscheinlichkeiten Pr_i werden durch die von Null verschiedenen Diagonalelemente der spektralen Zerlegung des Systemzustands gegeben.

Dieser neue Vorschlag entspricht dem alten in Fällen, in denen der alte gilt, und verallgemeinert ihn, indem er die definitivwertigen Eigenschaften in Bezug auf mehrdimensionale Projektoren festlegt, wenn die biorthogonale Zerlegung entartet ist: Definitivwertige Eigenschaften müssen nicht immer durch eindimensionale Vektoren dargestellt werden – es können auch höherdimensionale Unterräume des Hilbert-Raums auftreten.

Die SDMI hat auch eine direkte Anwendung auf die Messsituation. Betrachten wir die oben beschriebene Quantenmessung, bei der die reduzierten Zustände des gemessenen Systems S und des Messgeräts M lauten:

Gemäß SDMI wird der bevorzugte Kontext von S durch die Projektoren \( \Pi_{i}^{a} \) definiert und der bevorzugte Kontext von M durch die Projektoren \( \Pi_{i}^{p} \). Daher erhalten auch in SDMI die Observablen A von S und P von M tatsächliche bestimmte Werte, deren Wahrscheinlichkeiten durch die Diagonalelemente der diagonalisierten reduzierten Zustände gegeben sind.

Healey (1989), der als einer der ersten das biorthogonale Zerlegungstheorem zu Interpretationszwecken nutzte, hat ein etwas anderes modales Schema vorgeschlagen. Nach Anwendung des biorthogonalen Zerlegungstheorems modifiziert Healey die Menge der möglichen Eigenschaften, um eine Reihe zusätzlicher Desiderata zu erfüllen, z.B. in Bezug auf die Beziehung zwischen zusammengesetzten Systemen und ihren Teilsystemen. Die Struktur der aus diesen Bedingungen hervorgehenden definitiv bewerteten Eigenschaften ist recht kompliziert. Seit der Veröffentlichung von Healeys Buch wurden einige Fortschritte erzielt (siehe Reeder und Clifton 1995), aber im Allgemeinen bleibt es schwierig zu erkennen, wie die Menge der definitiv bewerteten Eigenschaften nach diesem Ansatz aussieht.

5. Zusammensetzung von Materie und atomare modale Interpretation

Die oben beschriebenen Zuordnungen modaler Eigenschaften werfen Fragen der Konsistenz auf, wenn ein System auf unterschiedliche Weise in Komponenten aufgeteilt werden kann. Betrachten wir beispielsweise das dreikomponentige Verbundsystem αβχ. Wir könnten den biorthogonalen Zerlegungssatz auf das zweikomponentige System (i) α(βχ), oder (ii) β(χα), oder (iii) χ(αβ) anwenden. Nehmen wir an, dass infolgedessen im Fall (i) das System α die eindeutig bewertete Eigenschaft P hat, im Fall (ii) das System β die eindeutig bewertete Eigenschaft Q hat und im Fall (iii) das System αβ die eindeutig bewertete Eigenschaft R hat. In welcher Beziehung stehen die eindeutig bewerteten Eigenschaften von α und β zu denen von αβ? Sind die bestimmten Werteigenschaften des Systems αβ P&Q oder R oder beide? Dieses Problem wurde in den 1990er Jahren von verschiedenen Autoren behandelt (siehe Vermaas 1999, Bacciagaluppi 1996).

Um dies näher zu erläutern, betrachten wir ein zusammengesetztes System αβ, dessen Teilsysteme α und β durch die Hilbert-Räume \( \mathcal{H} \)^α bzw. \( \mathcal{H} \)^β dargestellt werden, und betrachten eine Eigenschaft, die durch den auf \( \mathcal{H} \)^α definierten Projektor \( \Pi \)^α dargestellt wird. Es wird üblicherweise angenommen, dass \( \Pi \)^α dieselbe Eigenschaft repräsentiert wie \( \Pi \)^α ⊗ I^β, definiert auf \( \mathcal{H} \)^α ⊗ \( \mathcal{H} \)^β, wobei I^β der Identitätsoperator auf \( \mathcal{H} \)^β ist. Diese Annahme basiert auf der Beobachtungsununterscheidbarkeit der durch \( \Pi \)^α und \( \Pi \)^α ⊗ I^β repräsentierten Größen: Wenn die \( \Pi \)^α-Messung ein bestimmtes Ergebnis hat, dann hat die \( \Pi \)^α ⊗ I^β-Messung genau dasselbe Ergebnis.

Nun stellt sich die Frage, ob die Regeln von BDMI und SDMI, angewendet auf α, dem Wert \( \Pi \)^α denselben Wert zuweisen wie dem Wert \( \Pi \)^α ⊗ I^β, wenn die Regeln auf das zusammengesetzte System αβ angewendet werden (eine Bedingung, die als Eigenschaftskomposition bekannt ist), und umgekehrt (Eigenschaftsdekomposition). Die Antwort auf diese Frage ist negativ: BDMI und SDMI verstoßen gegen die Eigenschaftskomposition und die Eigenschaftsdekomposition (für einen Beweis siehe Vermaas 1998).

Wenn man behauptet, dass die Projektoren \( \Pi \)^α und \( \Pi \)^α ⊗ I^β dieselbe Eigenschaft darstellen müssen, ist die Verletzung der Eigenschaftskomposition und Eigenschaftsdekomposition ein ernstes Problem. So findet Arntzenius (1990) die Verletzung der Eigenschaftskomposition bizarr, da Aussagen wie „Die linke Seite eines Tisches ist grün” und „Der Tisch hat eine grüne linke Seite” unterschiedliche Wahrheitswerte zugewiesen bekommen; ein ähnliches Argument wird von Clifton (1996, siehe auch Clifton 1995c) vorgebracht.

Vermaas (1998) argumentiert jedoch, dass die Beobachtungsununterscheidbarkeit der durch \( \Pi \)^α und \( \Pi \)^α ⊗ I^β dargestellten Größen nicht zwingend dazu führt, dass diese beiden Projektoren als Darstellung derselben Eigenschaft betrachtet werden müssen: Tatsächlich unterscheiden sie sich aus theoretischer Sicht, da sie auf unterschiedlichen Hilbert-Räumen definiert sind. Darüber hinaus argumentiert er, dass die von Arntzenius und Clifton entwickelten Beispiele gerade im Lichte der Eigenschaftskomposition und Eigenschaftsdekomposition bizarr klingen. Im Quantenbereich müssen wir jedoch akzeptieren, dass die Fragen, welche Eigenschaften ein System und welche seine Teilsysteme besitzen, unterschiedliche Fragen sind: Die Eigenschaften eines zusammengesetzten Systems αβ legen nicht immer die Eigenschaften des Teilsystems α fest und umgekehrt. Vermaas kommt zu dem Schluss, dass die These, dass \( \Pi \)^α und \( \Pi \)^α ⊗ I^β dieselbe Eigenschaft darstellen, als Ergänzung zur Quantenmechanik betrachtet werden kann, die beispielsweise von van Fraassen (1991) abgelehnt wurde.

Ein ähnliches Problem ergibt sich aus der Tatsache, dass die Faktorisierung von Hilbert-Räumen nicht eindeutig ist: Jede gegebene Faktorisierung \( \mathcal{H} \) = \( \mathcal{H} \)¹ ⊗ \( \mathcal{H} \)² kann „gedreht” werden, um verschiedene Faktorierungen \( \mathcal{H} \)^′ = \( \mathcal{H} \)^1′ ⊗ \( \mathcal{H} \)^2′ zu erzeugen. Sollen wir auf jede dieser Faktorierungen dieselben Regeln anwenden? In welcher Beziehung stehen die Ergebnisse zueinander, wenn überhaupt? Ein Theorem von Bacciagaluppi (1995, siehe auch Vermaas 1997) zeigt, dass man, wenn man SDMI auf jede Faktorisierung anwendet und darauf besteht, dass die Werte der Observablen, die in den verschiedenen Faktorisationen vorkommen, faktorisierungunabhängig sind, am Ende einen mathematischen Widerspruch vom Typ Kochen-Specker erhält.

Eine mögliche Reaktion auf diese Schwierigkeiten besteht darin, anzunehmen, dass es eine bevorzugte Faktorisierung gibt. (Man kann die oben genannten Probleme auch als Hinweis darauf betrachten, dass Systeme ihre Eigenschaften auf relationale Weise besitzen, siehe Abschnitt 5). Die atomare modale Interpretation (AMI, Bacciagaluppi und Dickson 1999) geht daher davon aus, dass die Natur eine Menge von gegenseitig disjunkten atomaren Quantensystemen S^j festlegt, die die Bausteine aller anderen Quantensysteme bilden. Aus mathematischer Sicht bedeutet dies, dass der Hilbertraum \( \mathcal{H} \)^univ des gesamten Universums nur auf eine einzige sinnvolle Weise faktorisiert werden kann, was eine bevorzugte Faktorisierung definiert. Wenn jedes atomare Quantensystem S^j einem Hilbertraum \( \mathcal{H} \)^j entspricht, dann muss der Hilbertraum \( \mathcal{H} \)^univ des Universums wie folgt geschrieben werden:

\( \mathcal{H} \)^univ = \( \mathcal{H} \)¹ ⊗ \( \mathcal{H} \)² ⊗ ⋯ ⊗ \( \mathcal{H} \)^j ⊗ ⋯

Der Reiz dieser Idee liegt darin, dass sie mit dem Standardmodell der Teilchenphysik übereinstimmt, in dem die Grundbausteine der Natur die Elementarteilchen, z. B. Quarks, Elektronen, Photonen usw., und ihre Wechselwirkungen sind. Darüber hinaus können die oben genannten Probleme in der AMI umgangen werden: Sobald den atomaren Bausteinen bestimmte Eigenschaften zugewiesen wurden, kann man festlegen, dass zusammengesetzte Systeme Eigenschaften haben, die sich aus der Zusammensetzung der Eigenschaften ergeben. Einige dieser Ideen werden in der modalen hamiltonischen Interpretation umgesetzt, die in Abschnitt 8 behandelt wird. Die Zuschreibung von Eigenschaften an atomare Quantensysteme in der AMI folgt darüber hinaus der allgemeinen Idee modaler Interpretationen, d. h. die Zuschreibung hängt über eine feste Regel vom dynamischen Zustand des Systems ab.

Die größte Herausforderung für AMI besteht darin, die Annahme zu begründen, dass es eine bevorzugte Aufteilung des Universums gibt, und eine Vorstellung davon zu vermitteln, wie diese Faktorisierung aussehen sollte. AMI steht außerdem vor einem weiteren Problem. Ein nicht-atomares Quantensystem S^σ, definiert als Zusammensetzung atomarer Quantensysteme, hat nicht unbedingt Eigenschaften, die den Ergebnissen von Messungen entsprechen. Der Grund dafür ist, dass sich das System S^σ möglicherweise im Quantenzustand ϱ^σ mit einem Eigenprojektor Π^σ befindet, sodass Tr^σ(ϱ^σΠ^σ)=1 gilt. Das bedeutet, dass man bei der Messung der durch Π^σ dargestellten Eigenschaft mit Wahrscheinlichkeit 1 ein positives Ergebnis erhalten würde. Es kann jedoch sein, dass der Projektor Π^σ keine Zusammensetzung atomarer Eigenschaften ist und daher gemäß AMI keine Eigenschaft des zusammengesetzten Quantensystems S^σ darstellt.

Es wurden zwei Antworten auf diese Schwierigkeit vorgeschlagen. Die erste erlaubt neben den gewöhnlichen Eigenschaften auch die Existenz von dispositionellen Eigenschaften (Clifton 1996). Gemäß der zweiten Antwort ist das Ergebnis 1 des Projektors Π^σ ein kollektiver dynamischer Effekt auf das Messgerät (Dieks 1998): Das zusammengesetzte Quantensystem kann sich wie eine kollektive Einheit verhalten und die atomaren Quantensysteme abschirmen. Dies bedeutet, dass ein nicht-atomares Quantensystem S^σ manchmal so betrachtet werden kann, als wäre es atomar innerhalb einer grobkörnigen Beschreibung.

6. Dynamik der Eigenschaften

Wie wir gesehen haben, zielen modale Interpretationen darauf ab, für jeden Augenblick eine Reihe von eindeutig bewerteten Eigenschaften und deren Wahrscheinlichkeiten anzugeben. Einige Befürworter modaler Interpretationen sind bereit, es dabei zu belassen. Andere halten es für entscheidend, dass auch Fragen der folgenden Form beantwortet werden: Angenommen, die Eigenschaft P eines Systems hat zum Zeitpunkt t₀ den tatsächlichen Wert α, wie hoch ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass seine Eigenschaft P′ zum Zeitpunkt t₁ > t₀ den tatsächlichen Wert β hat? Mit anderen Worten, sie wollen eine Dynamik der tatsächlichen Eigenschaften.

Es gibt Argumente auf beiden Seiten (van Fraassen 1997). Diejenigen, die die Notwendigkeit einer solchen Dynamik befürworten, behaupten, dass wir sicherstellen müssen, dass die Bahnen der tatsächlichen Eigenschaften zumindest bei makroskopischen Objekten so sind, wie wir sie sehen, d. h. wie die Aufzeichnungen in unseren Erinnerungen. Beispielsweise sollten wir nicht nur verlangen, dass das auf dem Schreibtisch liegende Buch einen bestimmten Ort hat, sondern auch, dass sich sein Ort relativ zum Schreibtisch im Laufe der Zeit nicht verändert, wenn es nicht gestört wird. Dementsprechend reicht es nicht aus, einfach nur mögliche bestimmte Eigenschaften zu jedem Zeitpunkt anzugeben. Wir müssen auch zeigen, dass diese Angabe zumindest mit einer vernünftigen Dynamik vereinbar ist; besser noch, wir sollten diese Dynamik ausdrücklich angeben.

Diejenigen, die eine Dynamik der tatsächlichen Eigenschaften für überflüssig halten, entgegnen, dass eine solche Dynamik mehr ist, als eine Interpretation der Quantenmechanik leisten muss. Der Speicherinhalt für jeden Augenblick reicht aus, um empirische Adäquanz zu ermöglichen.

Ruetsche (2003) argumentiert, dass es in diesem Zusammenhang wichtig ist, ob die modale Interpretation als eine Hidden-Variables-Theorie angesehen wird, in der Wertzustände als versteckte Variablen zum ursprünglichen Formalismus hinzugefügt werden, um eine vollständige Beschreibung der physikalischen Situation zu erhalten, oder eher als ein interpretativer Schritt, der den ursprünglichen Formalismus mit einer neuen Semantik ausstattet (siehe auch Abschnitt 11). Im ersten Fall würde man eine vollständige Dynamik der tatsächlichen Eigenschaften erwarten, im zweiten Fall ist dies nicht so klar.

Natürlich lassen modale Interpretationen eine triviale Dynamik zu, nämlich eine, bei der es keine Korrelation von einem Zeitpunkt zum nächsten gibt. In diesem Fall ist die Wahrscheinlichkeit des Übergangs von der Eigenschaft P mit dem tatsächlichen Wert α bei t₀ zur Eigenschaft P′ mit dem tatsächlichen Wert β bei t₁ > t₀ einfach die Einmalwahrscheinlichkeit dafür, dass P′ bei t₁ den Wert β hat. Diese Dynamik dürfte jedoch für diejenigen, die überhaupt eine Dynamik für notwendig halten, kaum von Interesse sein. Mehrere Forscher haben zu dem Projekt beigetragen, eine interessantere Form der Dynamik für modale Interpretationen zu entwickeln (siehe Vermaas 1996, 1998). Eine wichtige Darstellung stammt von Bacciagaluppi und Dickson (1999, siehe auch Bacciagaluppi 1998). Diese Arbeit zeigt die wichtigsten Herausforderungen auf, denen sich die Konstruktion einer Dynamik tatsächlicher Eigenschaften stellen muss.

Die erste Herausforderung besteht darin, dass sich die Menge der eindeutig bewerteten Eigenschaften – nennen wir sie „S“ – im Laufe der Zeit ändern kann. Daher muss man eine Familie von Abbildungen definieren, wobei jede einzelne eine 1:1-Abbildung von S₀ zum Zeitpunkt t₀ auf ein anderes S_t zum Zeitpunkt t für jeden beliebigen Zeitpunkt ist. Mit einer solchen Familie von Abbildungen kann man effektiv bedingte Wahrscheinlichkeiten innerhalb eines einzigen Zustandsraums definieren und diese dann in „Übergangswahrscheinlichkeiten“ übersetzen. Damit diese Technik funktioniert, muss S_t zu jedem Zeitpunkt die gleiche Kardinalität haben. Im Allgemeinen ist dies jedoch nicht der Fall: Bei SDMI beispielsweise kann die Anzahl der verschiedenen Projektoren, die in der Spektralzerlegung der Dichtematrix auftreten, mit der Zeit variieren.

Ein Ausweg besteht darin, S jedes Mal so zu erweitern, dass seine Kardinalität der höchsten Kardinalität entspricht, die S jemals erreicht. Natürlich hofft man, dies auf eine Weise zu tun, die nicht völlig ad hoc ist. Im Zusammenhang mit SDMI zeigen beispielsweise Bacciagaluppi, Donald und Vermaas (1995), dass die „Trajektorie” durch den Hilbertraum der Spektralkomponenten des reduzierten Zustands eines physikalischen Systems unter vernünftigen Bedingungen kontinuierlich ist oder nur vereinzelte Diskontinuitäten aufweist, sodass die Trajektorie auf natürliche Weise zu einer kontinuierlichen Trajektorie erweitert werden kann (siehe auch Donald 1998). Dieses Ergebnis legt eine natürliche Familie von Abbildungen nahe, wie oben diskutiert, die jede Spektralkomponente zu einem bestimmten Zeitpunkt auf ihre einzigartige kontinuierliche entwickelte Komponente zu einem späteren Zeitpunkt abbilden.

Die zweite Herausforderung bei der Konstruktion einer Dynamik ergibt sich aus der Tatsache, dass man Übergangswahrscheinlichkeiten über infinitesimale Zeiteinheiten definieren und daraus dann die Übergangswahrscheinlichkeiten für endliche Zeiten ableiten möchte. Bacciagaluppi und Dickson (1999) argumentieren, dass man unter Anpassung der Ergebnisse aus der Theorie stochastischer Prozesse zeigen kann, dass das Verfahren für modale Interpretationen zumindest einiger Varietäten durchgeführt werden kann.

Schließlich müssen infinitesimale Übergangswahrscheinlichkeiten definiert werden, die zu jedem Zeitpunkt die richtigen quantenmechanischen Wahrscheinlichkeiten ergeben. In Anlehnung an frühere Arbeiten von Bell (1984), Vink (1993) und anderen definieren Bacciagaluppi und Dickson (1999) eine unendliche Klasse solcher infinitesimaler Übergangswahrscheinlichkeiten, sodass alle von ihnen die richtigen Einzelzeitwahrscheinlichkeiten erzeugen, die wohl alles sind, was wir wirklich testen können. Sudbery (2002) hat jedoch argumentiert, dass die Form der Übergangswahrscheinlichkeiten für die genaue Form des spontanen Zerfalls oder der „Dehmelt-Quantensprünge” relevant sei; er entwickelt unabhängig die Dynamik von Bacciagaluppi und Dickson weiter und wendet sie so an, dass sie zu den richtigen Vorhersagen für diese Experimente führt. Gambetta und Wiseman (2003, 2004) haben eine dynamische modale Darstellung in Form eines nicht-markovschen Prozesses mit Rauschen entwickelt und ihren Ansatz auch auf positive operatorwertige Maße (POVMs) ausgeweitet. In jüngerer Zeit hat Hollowood (2013a, 2013b, 2014) die Idee ausgearbeitet, dass die Dynamik von Wertzuständen durch eine diskrete Markov-Kette modelliert werden kann.

7. Perspektivische modale Interpretation

In Abschnitt 5 wurde erörtert, wie die Zuschreibung physikalischer Eigenschaften an Systeme in einem absoluten (monadischen) Sinne zu Konsistenzfragen führt. Solche Fragen lassen sich vermeiden, wenn man eine Metaphysik zugrunde legt, in der Eigenschaften relational sind. Tatsächlich lässt sich argumentieren, dass die mathematische Struktur der Nicht-Kollaps-Quantenmechanik ohnehin stark auf ein relationales Bild hindeutet, wie beispielsweise Everetts (1957) Gründe für die Einführung seiner relativen Zustände zeigen (diese Gründe beziehen sich auf die Nicht-Kollaps-Behandlung von Wigners Freund-Paradoxon).

Eine frühe relationale modale Interpretation wurde von Kochen (1985) vorgeschlagen. Laut Kochen besitzt in einem zweigeteilten System ein System Eigenschaften, die vom anderen System „bezeugt” werden.

Bene und Dieks (2002) haben eine allgemeinere perspektivische modale Interpretation (PMI) entwickelt, in der die Eigenschaften eines physikalischen Systems in Bezug auf beliebige andere physikalische Systeme definiert werden, die als „Referenzsysteme” dienen (Bene 1997). Die PMI ist eng mit der SDMI verwandt, da ähnliche Regeln zur Zuordnung von Eigenschaften zu Quantensystemen verwendet werden.

Genauer gesagt wird der Zustand von S in Bezug auf das Referenzsystem R mit \( \varrho_{R}^{S} \) bezeichnet. In dem Sonderfall, in dem R mit S zusammenfällt, wird der Zustand \( \varrho_{S}^{S} \) als „der Zustand von S in Bezug auf sich selbst” bezeichnet. Wenn das System S in einem System A enthalten ist, wird der Zustand \( \varrho_{A}^{S} \) als der Dichteoperator definiert, der aus \( \varrho_{A}^{A} \) abgeleitet werden kann, indem man die partielle Spur über die Freiheitsgrade in A nimmt, die nicht zu S gehören:

\( \varrho_{A}^{S} \) = Tr_(A\S)\( \varrho_{A}^{A} \)

PMI beginnt mit dem dynamischen Zustand des gesamten Universums in Bezug auf sich selbst, der als reiner Zustand \( \varrho_{U}^{U} \) = |ψ⟩⟨ψ| angenommen wird und sich gemäß der Schrödinger-Gleichung unitarisch entwickelt. Für jedes im Universum enthaltene System S wird angenommen, dass sein Wertzustand in Bezug auf sich selbst \( \varrho_{S}^{S} \) einer der Projektoren der spektralen Auflösung von \( \varrho_{U}^{S} \) = Tr_(U∖S)\( \varrho_{U}^{U} \) = Tr_(U∖S)|ψ⟩ ⟨ψ| ist. Insbesondere wenn keine Entartung unter den Eigenwerten von \( \varrho_{U}^{S} \) vorliegt, ist \( \varrho_{S}^{S} \) der eindimensionale Projektor |ψS⟩⟨ψS|.

Innerhalb des PMI kann es vorkommen, dass ein System aus der Perspektive eines Beobachters lokalisiert ist, aus einer anderen Perspektive jedoch delokalisiert. Wenn jedoch verschiedene Beobachter dasselbe makroskopische Objekt betrachten, wird dieser Effekt aufgrund von Dekohärenzeffekten unterdrückt.

Die „metaphysische“ Idee hinter dieser perspektivischen Interpretation ist, dass verschiedene relationale Beschreibungen, die aus unterschiedlichen Perspektiven gegeben sind, als gleich objektiv anzusehen sind; die physikalische Realität hat einen relationalen Charakter, und perspektivische Zustände lassen sich nicht auf grundlegendere nicht-relationale Zustände reduzieren.

In dieser relationalen/perspektivischen Interpretation kann der Verlauf von Ereignissen in Experimenten vom EPR-Typ auf lokale Weise beschrieben werden. Die Idee ist, dass die Veränderung des relationalen Zustands von Teilchen 2 in Bezug auf Teilchen 1 als Folge der Veränderung des Referenzsystems verstanden werden kann, die durch die lokale Messinteraktion zwischen Teilchen 1 und dem Messgerät hervorgerufen wird. Diese lokale Messung ist für die Schaffung einer neuen Perspektive verantwortlich, und aus dieser neuen Perspektive ergibt sich ein neuer relationaler Zustand von Teilchen 2. Nach dieser Darstellung ändert sich an der Position von Teilchen 2 nichts, wenn die Messung an Teilchen 1 stattfindet. Für kompliziertere Situationen, in denen auch eine Messung an Teilchen 2 stattfindet und Beobachter später ihre Ergebnisse vergleichen, muss eine radikale Form des Perspektivismus (oder Relationismus) angenommen werden, um aus allen Blickwinkeln Lokalität zu erreichen (Dieks 2022b).

PMI stimmt mit Bohrs Aussage überein, dass die Definition der physikalischen Realität im Quantenbereich den experimentellen Kontext einbeziehen sollte (siehe Dieks 2017 für eine ausführliche Diskussion von Bohrs Ansichten und einen Vergleich mit dem modalen Ansatz). PMI ist jedoch allgemeiner und technisch präziser: PMI definiert den Zustand eines Systems in Bezug auf beliebige Kontexte, die nicht unbedingt mit Messungen zusammenhängen müssen. Dadurch wird die Gefahr des Subjektivismus beseitigt, da die relationalen Zustände sich eindeutig aus dem Quantenformalismus und der Physik der Situation ergeben.

Berkovitz und Hemmo (2006) schlagen vor, dass ein relationaler Ansatz erforderlich ist, um modale Interpretationen auf den relativistischen Fall zu verallgemeinern. Dieks (2021) liefert ein detailliertes Schema, mit dessen Hilfe PMI relativistisch kovariant gemacht werden kann (unter Verwendung von Ideen aus der Viele-Welten-Interpretation).

Rovelli und seine Kollegen haben ebenfalls eine relationale Interpretation der Quantenmechanik vorgeschlagen, in der es die Möglichkeit unterschiedlicher perspektivabhängiger Beschreibungen eines physikalischen Systems gibt (Rovelli 1996, Rovelli und Smerlak 2007, Laudisa und Rovelli 2021, siehe auch van Fraassen 2010 und den Eintrag relationale Quantenmechanik). Es gibt viele Ähnlichkeiten zwischen PMI und Rovellis relationaler Interpretation, aber auch einige Unterschiede. In Rovellis Vorschlag sind diskrete Interaktionsereignisse (von denen einige Messungen entsprechen) grundlegend und es wird angenommen, dass sie bestimmte Werte relationaler Größen erzeugen. Im Gegensatz dazu definieren in PMI relative Zustände zu jedem Zeitpunkt perspektivische Größen.

8. Modale Hamilton-Interpretation

Wie Bub (1997) hervorhebt (siehe Abschnitt 2), wird in den meisten modalen Interpretationen der bevorzugte Kontext von definitiv bewerteten Observablen ausschließlich durch den dynamischen Zustand des Systems bestimmt; man könnte jedoch auch eine bevorzugte definitiv bewertete Observable einführen. Ein Beispiel hierfür ist die Bohm’sche Mechanik, in der der bevorzugte Kontext a priori durch die Positionsobservable definiert ist; in diesem Fall gelten die Eigenschaftskomposition und die Eigenschaftsdekomposition. Dies ist jedoch nicht die einzige sinnvolle Möglichkeit für eine modale Interpretation mit einer festen bevorzugten Observablen. Tatsächlich weist die modale Hamilton-Interpretation (MHI, Lombardi und Castagnino 2008; für eine aktualisierte Version siehe Lombardi 2025) dem Hamilton-Operator eines Systems eine bestimmende Rolle zu, sowohl bei der Definition von Systemen und Teilsystemen als auch bei der Auswahl des bevorzugten Kontexts.

Die MHI basiert auf den folgenden Postulaten:

Systempostulat (SP):
Ein Quantensystem S wird durch ein Paar (\( \mathcal{O}\),H) dargestellt, sodass (i) \( \mathcal{O}\) ein Raum selbstadjungierter Operatoren auf einem Hilbert_Raum ist, der die Observablen des Systems darstellt, (ii) H∈\( \mathcal{O}\) der zeitunabhängige Hamiltonoperator des Systems S ist, und (iii) wenn ϱ₀∈\( \mathcal{O}\)′ (wobei \( \mathcal{O}\)′ der Dualraum von \( \mathcal{O}\) ist) der Anfangszustand von S ist, entwickelt es sich gemäß der Schrödinger-Gleichung.

Obwohl jedes Quantensystem auf vielfältige Weise in Teile zerlegt werden kann, führt eine Zerlegung laut MHI nur dann zu Teilen, die ebenfalls Quantensysteme sind, wenn die Verhaltensweisen der Komponenten dynamisch voneinander unabhängig sind, d. h. wenn keine Wechselwirkung zwischen den Teilsystemen besteht:

Kompositsystem-Postulat (CSP):
Ein Quantensystem, dargestellt durch S:(\( \mathcal{O}\),H), mit dem Anfangszustand ϱ₀∈\( \mathcal{O}\)′, ist zusammengesetzt, wenn es in zwei Quantensysteme S¹:(\( \mathcal{O}\)¹,H¹) und S²:(\( \mathcal{O}\)²,H²) unterteilt werden kann, sodass (i) \( \mathcal{O}\) = \( \mathcal{O}\)¹ ⊗ \( \mathcal{O}\)² und (ii) H = H¹ ⊗ I² + I¹ ⊗ H² (wobei I¹ und I² die Identitätsoperatoren in den entsprechenden Tensorprodukträumen sind). In diesem Fall sagen wir, dass S¹ und S² Teilsysteme des zusammengesetzten Systems S = S¹∪S² sind. Ist das System nicht zusammengesetzt, ist es elementar.

In Bezug auf den bevorzugten Kontext besteht die Grundidee von MHI darin, dass der Hamilton-Operator des Systems die Aktualisierung definiert. Jede Observable, die nicht die Symmetrien des Hamilton-Operators aufweist, kann keinen eindeutigen tatsächlichen Wert annehmen, da diese Aktualisierung die Symmetrie des Systems willkürlich brechen würde.

Aktualisierungsregel (AR):
Bei einem elementaren Quantensystem, das durch S:(\( \mathcal{O}\),H) dargestellt wird, sind H und alle Observablen, die mit H kommutieren und mindestens die gleichen Symmetrien wie H aufweisen, die tatsächlich vorhandenen Observablen von S.

Die Auswahl des bevorzugten Kontexts ausschließlich auf der Grundlage einer bevorzugten Observablen wurde mit dem Argument kritisiert, dass im Hilbertraum-Formalismus alle Observablen gleichberechtigt sind. Die Quantenmechanik ist jedoch nicht nur Hilbertraum-Mathematik: Sie ist eine physikalische Theorie, die ein dynamisches Gesetz beinhaltet, in dem der Hamiltonoperator eine zentrale Rolle spielt.

Die Rechtfertigung für die Auswahl des Hamilton-Operators als bevorzugte Observable liegt letztlich im Erfolg der MHI und ihrer Fähigkeit, Interpretationsschwierigkeiten zu lösen (siehe Lombardi und Castagnino 2008, Abschnitte 5 und 6). Was den ersten Punkt betrifft: Das Schema wurde auf mehrere bekannte physikalische Situationen angewendet (freies Teilchen mit Spin, harmonischer Oszillator, freies Wasserstoffatom, Zeeman-Effekt, Feinstruktur, Born-Oppenheimer-Näherung) und führte zu Ergebnissen, die mit empirischen Beweisen übereinstimmen. In Bezug auf die Interpretation konfrontiert MHI die Quantenkontextualität durch die Auswahl eines bevorzugten Kontexts und hat sich als fähig erwiesen, eine Erklärung für das Messproblem zu liefern, sowohl in seiner idealen als auch in seiner nicht-idealen Version; darüber hinaus liefert es im nicht-idealen Fall ein Kriterium zur Unterscheidung zwischen zuverlässigen und nicht zuverlässigen Messungen.

In der MHI gelten Eigenschaftszusammensetzung und Eigenschaftszersetzung, da die Aktualisierungsregel nur für elementare Systeme gilt: Die eindeutig bewerteten Eigenschaften von zusammengesetzten Systemen werden auf der Grundlage derjenigen der elementaren Komponenten und gemäß der üblichen Quantenannahme ausgewählt, wonach die Observable A¹ eines Teilsystems S¹ und die Observable A = A¹ ⊗ I² des zusammengesetzten Systems S = S¹S² dieselbe Eigenschaft darstellen.

Der bevorzugte Kontext von MHI ändert sich nicht mit der Zeit: Die definitiv bewerteten Observablen kommutieren immer mit dem Hamiltonoperator und sind daher Bewegungskonstanten des Systems. Das bedeutet, dass sie während der gesamten „Lebensdauer” des Quantensystems als geschlossenes System gleich bleiben, von seiner anfänglichen „Geburt”, wenn es als Ergebnis einer Wechselwirkung entsteht, bis zu seinem endgültigen „Tod”, wenn es durch Wechselwirkung mit einem anderen System verschwindet. Folglich besteht keine Notwendigkeit, die Dynamik der tatsächlichen Eigenschaften wie bei BDMI und SDMI zu berücksichtigen.

In den letzten Jahren hat MHI seine Anwendungen auf weitere Situationen ausgeweitet, wie beispielsweise die Nicht-Kollaps-Erklärung aufeinanderfolgender Messungen in der Physik (Ardenghi, Lombardi und Narvaja 2013) und das Problem der optischen Isomerie in der Chemie (Fortin, Lombardi und Martínez González 2018).

9. Nicht ideale Messungen

Oben haben wir vorgeschlagen, dass BDMI und SDMI das Messproblem sofort lösen. Dies trifft im Fall idealer von-Neumann-Messungen zu, bei denen die Eigenzustände |a_i⟩ der gemessenen Observablen A des Objektsystems S perfekt mit den Eigenzuständen |p_i⟩ des Zeigers P des Messgeräts M korrelieren. Ideale Messungen sind in der Praxis jedoch nie möglich: Die Wechselwirkung zwischen S und M führt nie zu einer vollkommen perfekten Korrelation zwischen A und P. In der Literatur werden in der Regel zwei Arten von nicht-idealen Messungen unterschieden:

Unvollkommene Messung (erste Art)
∑_ic_i|a_i⟩ ⊗ |p₀⟩ → ∑_ijd_ij|a_i⟩ ⊗ |p_j⟩ (im Allgemeinen gilt d_ij ≠ 0 mit i ≠j )

Störende Messung (zweite Art)
∑_ic_i|a_i⟩ ⊗ |p₀⟩ → ∑_ic_i|\( {a}_{i}^{d}\)⟩ ⊗ |p_i⟩ (im Allgemeinen gilt ⟨\( {a}_{i}^{d}\)∣\( {a}_{j}^{d}\)⟩ ≠ δ_ij)

Beachten Sie jedoch, dass störende Messungen als unvollkommene Messungen umgeschrieben werden können (und umgekehrt).

Unvollkommene Messungen stellen eine Herausforderung für BDMI und SDMI dar, da ihre Regeln für die Auswahl der eindeutig bewerteten Eigenschaften in diesem Fall nicht die richtigen Eigenschaften für das Gerät auswählen (siehe Albert und Loewer 1990, 1991, 1993; auch Ruetsche 1995). Ein Beispiel, das die Schwierigkeiten deutlich macht, wurde im Zusammenhang mit Stern-Gerlach-Experimenten formuliert (Elby 1993). Dieses Argument nutzt die Tatsache, dass die Wellenfunktionen in der z-Variablen typischerweise unendliche „Schweife” haben, die Nicht-Null-Kreuzterme einführen; daher kann der „Schweif” der Wellenfunktion des „abwärts” gerichteten Strahls eine Detektion im oberen Detektor hervorrufen und umgekehrt (siehe Dickson 1994 für eine ausführliche Diskussion).

Wenn die biorthogonale Zerlegung auf den nicht perfekt korrelierten Zustand ∑_ijd_ij|a_i⟩ ⊗ |p_j⟩ = ∑_ic′_i|a′_i⟩ ⊗ |p′_i⟩ angewendet wird, wählt das Ergebnis gemäß BDMI nicht den Zeiger P als eine eindeutig bewertete Eigenschaft aus, sondern eine andere beobachtbare Größe P′ mit Eigenzuständen |p′_i⟩. In diesem Fall, in dem die ausgewählten eindeutig bewerteten Eigenschaften von den erwarteten abweichen, stellt sich die Frage, wie stark sie sich unterscheiden. Im Falle einer unvollkommenen Messung kann angenommen werden, dass d_ij ≠ 0, mit i ≠ j, klein ist; dann könnte auch die Differenz klein sein. Im Falle einer störenden Messung muss d_ij ≠ 0, mit i ≠ j, jedoch nicht klein sein, und infolgedessen könnte die Diskrepanz zwischen der modalen Interpretation und dem experimentellen Ergebnis inakzeptabel sein (siehe eine ausführliche Diskussion in Bacciagaluppi und Hemmo 1996). Diese Tatsache wurde als „Wundermittel” angesehen, um die modalen Interpretationen der Typen BDMI und SDMI zu widerlegen (Harvey Brown, zitiert in Bacciagaluppi und Hemmo 1996). Dies ist jedoch voreilig: Eine umfassendere Analyse unter Einbeziehung der Dekohärenz durch Umwelteinflüsse kann viele dieser Probleme beseitigen – siehe unten.

Ein weiteres Problem für die BDMI- und SDMI-Interpretationen betrifft die Entartung. Wenn der Endzustand des zusammengesetzten Systems (gemessenes System plus Messgerät) in der durch die gemessene Observable und den Zeiger des Geräts gegebenen Basis nahezu entartet ist (d. h. wenn die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ergebnisse fast gleich sind), muss die Spektralzerlegung im Allgemeinen keine eindeutig bewerteten Eigenschaften auswählen, die denen nahekommen, die idealerweise zu erwarten wären. Tatsächlich können die so ausgewählten Observablen mit den Observablen, die wir auf der Grundlage der Beobachtung erwarten, inkompatibel (nicht kommutativ) sein (Bacciagaluppi und Hemmo 1994, 1996).

Um diese Probleme zu lösen, haben sich mehrere Autoren auf das Phänomen der Dekohärenz berufen; darauf wird nun eingegangen.

10. Die Rolle der Dekohärenz

Gemäß dem umweltinduzierten Ansatz zur Dekohärenz (Zurek 1981, 2003; siehe auch Schlosshauer 2007) ist jedes makroskopische Messgerät ein offenes System, das in ständiger Wechselwirkung mit seiner Umgebung steht; als Folge dieser Wechselwirkung wird der reduzierte Zustand des Geräts fast augenblicklich von einem Zustand ununterscheidbar, der eine Unwissensmischung („richtige Mischung”) über unbekannte, aber bestimmte Positionen des makroskopischen Zeigers des Geräts darstellen würde. Die Idee, dass Dekohärenz eine wichtige Rolle in modalen Interpretationen spielen könnte, indem sie makroskopische Größen definitiv macht, wurde schon früh von mehreren Autoren vorgeschlagen. Die Berücksichtigung der Dekohärenz hat in der Diskussion über nicht-ideale Messungen zentrale Bedeutung erlangt.

Wie wir gesehen haben, wählen die biorthogonale und spektrale Zerlegung bei BDMI und SDMI im Allgemeinen nicht die richtigen Eigenschaften für das Gerät bei nicht idealen Messungen aus. Bacciagaluppi und Hemmo (1996) zeigen jedoch, dass – wenn es sich bei dem Gerät um ein endlichdimensionales System handelt, das mit einer Umgebung mit einer großen Anzahl von Freiheitsgraden interagiert – die Dekohärenz garantiert, dass die spektrale Zerlegung des reduzierten Zustands des Geräts sehr nahe am idealerweise erwarteten Ergebnis liegt und folglich eine Beobachtung ausgewählt wird, die sehr nahe am Zeiger des Geräts liegt und von diesem nicht zu unterscheiden ist, als definitiv bewertet wird. Alternativ schlägt Bub (1997) vor, dass anstelle der Dekohärenz – mit dem „Ausblenden” der Umgebung und der Diagonalisierung des reduzierten Zustands des Apparats – der triorthogonale oder n-orthogonale Zerlegungssatz unter Einbeziehung der Umgebung verwendet werden kann, um eine eindeutige Zeigerbasis für den Apparat herauszufiltern.

In beiden Fällen löst die Interaktion mit der Umgebung das Problem der nicht idealen Messungen in BDMI und SDMI für den Fall von endlichen makroskopischen Apparaten. Der Fall von unendlich vielen unterschiedlichen Zuständen für den Apparat ist jedoch problematischer. Bacciagaluppi (2000) hat diese Situation anhand eines kontinuierlichen Modells der Interaktion des Apparats mit der Umgebung analysiert. Er kommt zu dem Schluss, dass in diesem Fall die spektrale Zerlegung des reduzierten Zustands des Apparats im Allgemeinen keine Eigenschaften herausgreift, die den empirisch erforderlichen Eigenschaften nahe genug kommen. Dieses Ergebnis scheint allgemein für Fälle zu gelten, in denen ein makroskopisches System mit unendlich vielen Freiheitsgraden aufgrund der Wechselwirkung mit seiner Umgebung Dekohärenz erfährt (siehe Donald 1998). Modellberechnungen von Hollowood (2013, 2014) deuten jedoch darauf hin, dass das Problem unter realistischen Umständen möglicherweise weniger gravierend ist als ursprünglich angenommen, und die Frage muss weiter untersucht werden.

Modale Interpretationen mit einer a priori festgelegten bevorzugten Observablen (MHI und Bohms Interpretation) sind gegen die oben genannten Einwände immun: Eine Dekohärenz durch die Umgebung muss nicht herangezogen werden, um die Bestimmtheit der Position des Zeigers des Apparats zu erklären (weder bei idealen noch bei nicht-idealen Messungen). In der MHI besteht jedoch weiterhin eine Beziehung zum Dekohärenzprogramm. Tatsächlich ist der Messapparat immer ein makroskopisches System mit einer großen Anzahl von Freiheitsgraden, und der Zeiger muss daher eine „kollektive” und empirisch zugängliche Observable sein; folglich spielen die vielen Freiheitsgrade – und die entsprechenden Entartungen – des Zeigers die Rolle einer dekoherierenden „internen Umgebung” (für Details siehe Lombardi et al. 2011). Die Rolle der Dekohärenz in der MHI wird deutlicher, wenn das Phänomen der Dekohärenz aus der Perspektive eines geschlossenen Systems betrachtet wird (Castagnino, Fortin und Lombardi 2010). (Siehe den Eintrag zur Rolle der Dekohärenz in der Quantenmechanik.)

11. Das Messproblem neu betrachtet: Vollständigkeit und versteckte Variablen

Das Messproblem wird in der Regel in Form der Unvereinbarkeit dreier Aussagen der folgenden Form dargestellt (vgl. Maudlin 1995, Myrvold 2018):

1. Der Quantenzustand ist „vollständig“.
2. Der Quantenzustand entwickelt sich immer gemäß einer linearen dynamischen Gleichung (z. B. der Schrödinger-Gleichung).
3. Erfolgreiche Messungen haben eindeutige und bestimmte Ergebnisse.

Um Inkonsistenzen zu vermeiden, werden standardmäßig drei Interpretationsstrategien in Betracht gezogen: die Leugnung der Vollständigkeit (a), die oft zu Theorien mit versteckten Variablen führt; die Leugnung (b), die zu Theorien führt, nach denen Kollaps stattfindet; oder die Leugnung (c), die zu vielen Welten führt.

Modale Interpretationen akzeptieren sowohl (b) als auch (c), sodass sie zwangsläufig (a) verletzen müssen. Somit scheint es klar, dass modale Interpretationen die Quantenmechanik als „unvollständig” betrachten müssen. Tatsächlich ist es richtig, dass gemäß modalen Interpretationen der Quantenzustand nicht alle tatsächlichen physikalischen Eigenschaften (d. h. die tatsächlichen Werte aller definitiv bewerteten physikalischen Größen) eines Systems festlegt, was das in (a) vorausgesetzte Kriterium der Unvollständigkeit ist.

Viele Befürworter modaler Schemata argumentieren jedoch, dass letzteres Merkmal nicht angemessen durch die Aussage ausgedrückt wird, dass die Quantenmechanik, modal verstanden, unvollständig ist. Sie wenden ein, dass dieser Begriff der Unvollständigkeit leicht den Eindruck erweckt, die Theorie sei fehlerhaft und müsse (durch versteckte Variablen) vervollständigt werden. Modale Theoretiker behaupten jedoch, dass ihre Interpretationen der Quantenmechanik keiner Ergänzungen bedürfen, da diese Interpretationen bereits alles enthalten, was man vernünftigerweise von Theorien erwarten kann, die eine grundlegend probabilistische (indeterministische) Welt beschreiben. Erstens legen modale Schemata vollständig fest, welche Observablen festwertig sind. Zweitens legen sie die möglichen Werte fest, die diese Observablen annehmen können, und sie liefern die Wahrscheinlichkeiten, mit denen diese Werte realisiert werden können. Da es ein zentrales modales Prinzip ist, dass die Verwirklichung von Eigenschaften in der Quantenwelt ein grundlegend probabilistischer (indeterministischer) Prozess ist, ist nichts weiter als diese probabilistische Beschreibung möglich. Aus dieser Sicht ist das Beharren darauf, dass die modal interpretierte Quantenmechanik notwendigerweise unvollständig sei, gleichbedeutend mit der Festlegung, dass jede probabilistische Theorie per Definition unvollständig sein muss – selbst wenn sie auf eine grundlegend probabilistische Welt angewendet wird. Dies scheint jedoch eine unangemessene Verwendung der Terminologie zu sein.

12. Die Interpretation der Wahrscheinlichkeit

Die Leitgedanken der modalen Interpretationen sind somit Indeterminismus und Probabilismus: Die Quantenmechanik beschreibt nicht die Realität, sondern liefert uns eine Liste von Möglichkeiten und deren Wahrscheinlichkeiten. Diese zentrale Stellung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs wirft zwei Fragen auf: die formale Behandlung von Wahrscheinlichkeiten und die Interpretation von Wahrscheinlichkeit.

Da die Menge aller Projektor-Operatoren auf einem gegebenen Hilbertraum keine Boole’sche Struktur aufweist, erfüllt die Born’s’che Wahrscheinlichkeit (die über diese Projektoren definiert ist) nicht die Definition der Wahrscheinlichkeit nach Kolmogorov (die für eine Boolesche Algebra von Ereignissen gilt). Aus diesem Grund definieren einige Autoren eine verallgemeinerte nicht-Kolmogorov’sche Wahrscheinlichkeitsfunktion über der Orthoalgebra von Quantenereignissen (Hughes 1989, Cohen 1989). Modale Interpretationen folgen diesem Ansatz nicht: Sie verstehen Wahrscheinlichkeiten als durch ein Kolmogorov-Maß auf der Booleschen Algebra repräsentiert, die die definitiv bewerteten Größen darstellt, die durch gegenseitig kommutierende Projektoren erzeugt werden. Wie wir gesehen haben, unterscheiden sich die verschiedenen modalen Interpretationen in ihren Definitionen des bevorzugten Kontexts, auf dem die Kolmogorov-Wahrscheinlichkeit definiert ist.

Im Allgemeinen kann ein Kontext als vollständiger Satz orthogonaler Projektoren {Π_α} beschrieben werden, sodass ∑_iΠ_i = I und Π_iΠ_j = δ_ijΠ_i gilt, wobei I der Identitätsoperator in H ⊗ H ist. Jeder dieser Kontexte erzeugt eine Boolesche Struktur, und der Zustand des Systems definiert eine Kolmogorovsche Wahrscheinlichkeitsfunktion für jeden einzelnen Kontext. Allerdings entsprechen nur die Wahrscheinlichkeiten, die auf dem bevorzugten Kontext definiert sind, der durch die vorliegende modale Interpretation ausgewählt wurde, physikalischen Möglichkeiten, von denen eine tatsächlich eintritt.

Wir haben es also mit möglichen Ereignissen zu tun, von denen nur eines tatsächlich eintritt. Die Tatsache, dass das tatsächliche Ereignis durch modale Interpretationen grundsätzlich nicht herausgegriffen wird, macht sie grundlegend probabilistisch. Dieser Aspekt unterscheidet modale Interpretationen von Viele-Welten-Interpretationen, bei denen alle Ereignisse tatsächlich eintreten und in denen die Wahrscheinlichkeit folglich ein problematischer Begriff sein muss. Dennoch bedeutet diese modale Einstimmigkeit über die grundlegende Rolle der Wahrscheinlichkeit nicht, dass alle modalen Interpretationen hinsichtlich der Interpretation der Wahrscheinlichkeit übereinstimmen.

Im Zusammenhang mit BDMI, SDMI und PMI wird in der Regel behauptet, dass der Zustand angesichts des Raums möglicher Ereignisse eine ignoranzinterpretierbare Wahrscheinlichkeitsmaßnahme über diese Menge erzeugt: Quantenwahrscheinlichkeiten quantifizieren die Unwissenheit des Beobachters über die tatsächlichen Werte, die die Observablen des Systems annehmen (siehe z. B. Clifton 1995a, Vermaas 1999).

Im Gegensatz zu diesem „Aktualismus” – der Vorstellung, dass Möglichkeit auf Aktualität reduziert wird (siehe Bueno 2014) – vertreten einige modale Interpretationen, insbesondere MHI, eine possibilistische Auffassung, wonach mögliche Ereignisse – possibilia – eine grundlegende ontologische Kategorie bilden (siehe Menzel 2018). Die Wahrscheinlichkeitsmaßzahl wird in diesem Fall als Darstellung einer ontologischen Neigung eines möglichen Quantenereignisses angesehen, tatsächlich zu werden (Suárez 2004; Terekhovich 2019 [Andere Internetressourcen]).

Es ist anzumerken, dass der Indeterminismus der modalen Quantenmechanik nicht bedeutet, dass der gegenwärtige Quantenzustand eines Systems seine zukünftigen Quantenzustände nicht bestimmt. Die Schrödinger-Gleichung ist deterministisch, und die im Quantenzustand kodierten Wahrscheinlichkeiten entwickeln sich daher auf deterministische Weise. Indeterminismus kommt ins Spiel, wenn wir die tatsächlichen Werte der Observablen betrachten, die selbst dann nicht vorbestimmt sind, wenn der Quantenzustand vollständig festgelegt ist: Modale Interpretationen betrachten Aktualisierungsprozesse als im Wesentlichen probabilistisch.

In diesem Zusammenhang schließen sich die beiden genannten Ansichten über Wahrscheinlichkeit (Aktualismus versus Possibilismus) nicht gegenseitig aus. Dass Wahrscheinlichkeiten die Unkenntnis über die tatsächlichen Werte von Observablen quantifizieren (wie im Aktualismus), bedeutet nicht, dass diese Unkenntnis auf einem Mangel an Wissen über zugrunde liegende deterministische Prozesse beruht. Der Possibilismus fügt hinzu, dass Quantenwahrscheinlichkeiten Neigungen darstellen und dass unsere Unkenntnis eine notwendige Folge der indeterministischen Ontologie der physikalischen Welt ist, in der Neigungen eine grundlegende Kategorie bilden.

13. Offene Probleme und Perspektiven

Viele Quantenphysiker vertreten in ihrer Arbeit implizit modale Ideen, indem sie den Formalismus der unitären Quantenmechanik verwenden, um probabilistische Aussagen über eine einzige Welt (unsere eigene) zu treffen. Diese Verwendung der unitären Quantenmechanik ist besonders in der Quanteninformationstheorie beliebt. Es besteht auch ein wachsendes Interesse an Fragen zu den konzeptionellen Konsequenzen einer konsistenten Anwendung der unitären (nicht kollabierenden) Quantenmechanik auf die physikalische Welt (siehe z. B. Frauchiger und Renner 2018 und die darauf folgenden Diskussionen). Diese Fragen finden ihren natürlichen Platz innerhalb des modalen Interpretationsprogramms.

In den letzten zehn Jahren haben modale Interpretationen auch die Aufmerksamkeit von praktizierenden Physikern und Mathematikern, die sich für grundlegende Fragen interessieren, stärker auf sich gezogen. Hollowood (2014) bietet beispielsweise eine von PMI inspirierte Interpretation der Quantenmechanik: In dieser Darstellung repräsentiert der Zustand eines offenen Systems dessen Eigenschaften aus der Perspektive des geschlossenen Systems, dessen Teilsystem es ist. Barandes und Kagan (2014a, 2014b, 2020) schlagen eine von SDMI inspirierte „minimale modale Interpretation” vor, nach der der bevorzugte Kontext durch den sich entwickelnden reduzierten Zustand des offenen Systems gegeben ist. Nakayama (2014a, 2014b) hat Verbindungen zwischen der modalen Interpretation und dem Rahmen der Topos-Theorie untersucht.

Es gibt auch mehrere spezifisch philosophische Fragen im Zusammenhang mit dem modalen Programm: über die Natur der „Dinge”, auf die sich die Quantenmechanik bezieht, d. h. über die Grundkategorien der Quantenontologie. Wie wir gesehen haben, werden die Eigenschaften von Quantensystemen in modalen Interpretationen im Allgemeinen als monadisch betrachtet, mit Ausnahme der perspektivischen Version PMI, in der diese Eigenschaften relational sind. In beiden Fällen kann man sich fragen, ob ein Quantensystem als individuelles Substrat, das Eigenschaften trägt, oder als bloßes „Bündel” von Eigenschaften, die kein Individuum im gewöhnlichen Sinne bilden müssen, verstanden werden muss. In Anlehnung an eine ursprüngliche Idee der MHI haben da Costa und Lombardi (2014) vorgeschlagen, dass im modalen Kontext die Bündel-Sichtweise am besten geeignet ist, um eine Antwort auf das Problem der Ununterscheidbarkeit identischer Quantenpartikel zu geben (French und Krause 2006). Wie Steven French (2020 [Andere Internetressourcen]) bemerkt hat, findet diese Sichtweise von nicht-individuellen Bündeln eine natürliche Resonanz im ontischen Strukturalismus, der hauptsächlich durch die ontologischen Herausforderungen der Quantenmechanik motiviert war (Ladyman 1998). Darüber hinaus wurde diese Ontologie der Eigenschaften als Grundlage für eine metaphysische Interpretation der relationalen Quantenmechanik (Oldofredi 2021) und als paradigmatischer Fall der Quantenunbestimmtheit (Calosi 2022) herangezogen und auf die Quantenfeldtheorie angewendet (Rossanese 2023). Es ist anzumerken, dass diese Bündelontologie nicht im Widerspruch zur Entstehung klassischer unterscheidbarer Teilchen in bestimmten Situationen steht, z. B. im klassischen Grenzfall (Lombardi und Dieks 2016).

Auch andere ontologische Themen im Zusammenhang mit modalen Interpretationen sind in letzter Zeit Gegenstand von Diskussionen geworden. So argumentiert Calosi (2018), dass BDMI und AMI den Quantenmonismus, also die Ansicht, dass es nur eine einzige grundlegende Entität gibt – das Universum als Ganzes –, vor erhebliche Herausforderungen stellen. Im Zusammenhang mit der Diskussion über die Klassifizierung zwischen ψ-ontischen und ψ-epistemischen Modellen zeigen Oldofredi und López (2020), dass eine solche Klassifizierung zu eng gefasst ist, um relationale Interpretationen wie PMI einzubeziehen.

Es gibt auch technischere Fragen, die einer weiteren Diskussion bedürfen. Modale Interpretationen, wie sie hier diskutiert werden, basieren auf dem Standard-Hilbert-Raum-Formalismus der Quantenmechanik. Brown, Suárez und Bacciagaluppi (1998) argumentieren jedoch, dass die Quantenrealität mehr umfasst als das, was durch Operatoren und Quantenzustände beschrieben wird: Sie behaupten, dass auch Eichungen und Koordinatensysteme für unsere Beschreibung der physikalischen Realität wichtig sind, während modale Interpretationen (AM, BDMI und SDMI) solche Dinge standardmäßig nicht berücksichtigt haben. In ähnlicher Weise wurde im Zusammenhang mit der MHI argumentiert, dass galileische Raum-Zeit-Symmetrien das formale Gerüst der Quantenmechanik mit physikalischem Fleisch und Blut ausstatten und die grundlegenden physikalischen Größen identifizieren, die es ermöglichen, die Theorie auf konkrete physikalische Situationen anzuwenden. Wenn man postuliert, dass die Menge der eindeutig bewerteten Observablen eines Systems unter Galileischen Transformationen invariant ist (die Intuition dabei ist, dass eine bloße Änderung des Inertialreferenzrahmens diese Menge nicht verändert), kann die MHI-Aktualisierungsregel in einer explizit invarianten Form in Bezug auf die Casimir-Operatoren der Galileischen Gruppe neu formuliert werden (Ardenghi, Castagnino und Lombardi 2009).

Eine weitere grundlegende Frage ist die relativistische Erweiterung des modalen Ansatzes. Dickson und Clifton (1998) haben gezeigt, dass eine große Klasse modaler Interpretationen der gewöhnlichen Quantenmechanik nicht auf einfache Weise Lorentz-invariant gemacht werden kann (siehe auch Myrvold 2002). In Bezug auf die Erweiterung auf die algebraische Quantenfeldtheorie (siehe Kitajima 2004) schlug Clifton (2000) eine natürliche Verallgemeinerung des nichtrelativistischen modalen Schemas vor, aber Earman und Ruetsche (2005) zeigten, dass noch nicht klar ist, ob es in der Lage sein wird, mit Messsituationen umzugehen, und ob es empirisch adäquat ist. Die durch diese Untersuchungen aufgedeckten Probleme hängen damit zusammen, dass modale Interpretationen das nichtrelativistische Konzept eines globalen Zustands, eines ausgedehnten Systems, zu einem bestimmten Zeitpunkt verwenden. In einem lokalen feldtheoretischen Kontext sieht dies anders aus, was dazu beitragen kann, Konflikte mit der Relativitätstheorie zu vermeiden (Earman und Ruetsche 2005). Berkovitz und Hemmo (2005) sowie Hemmo und Berkovitz (2005) schlagen einen anderen Ausweg vor: Sie argumentieren, dass hier der Perspektivismus Abhilfe schaffen kann (siehe auch Berkovitz und Hemmo 2006). Die Idee, dass der Perspektivismus für die Gewährleistung der Kompatibilität mit der speziellen Relativitätstheorie unerlässlich ist, wird von Dieks (2021) ausgearbeitet, der eine relativistisch kovariante Behandlung von Experimenten vom EPR-Typ auf der Grundlage von PMI vorschlägt.

Im Zusammenhang mit MHI wurde ein alternatives Programm zur Erreichung relativistischer Kovarianz entwickelt, das auf der Idee basiert, dass die Aktualisierungsregel, ausgedrückt in Form der Casimir-Operatoren der Galilei-Gruppe in der nichtrelativistischen Quantenmechanik, durch entsprechende Änderung der Symmetriegruppe auf den relativistischen Bereich übertragen werden kann. In diesem Fall werden die definitiv bewerteten Observablen eines Systems zu denen, die durch die Casimir-Operatoren der Poincaré-Gruppe dargestellt werden. Da der Massenoperator und der quadrierte Spinoperator die einzigen Casimir-Operatoren der Poincaré-Gruppe sind, sind diese immer definitiv bewertete Observablen. Diese Schlussfolgerung steht im Einklang mit einer üblichen Annahme in der Quantenfeldtheorie: Elementarteilchen haben immer definitive Werte für Masse und Spin, und genau diese Werte definieren die verschiedenen Arten von Elementarteilchen der Theorie (Lombardi, Castagnino und Ardenghi 2010).

Diese verschiedenen Vorschläge und Entwicklungen sind im Rahmen detaillierter technischer Untersuchungen entstanden. Dies veranschaulicht zwei Merkmale des modalen Ansatzes: Einerseits nutzt er einen präzisen mathematischen Rahmen, andererseits ist er flexibel und offen und kann unterschiedliche Ansichten hinsichtlich der Regeln, die die Menge der eindeutig definierten Observablen bestimmen, berücksichtigen. Es ist natürlich zu erwarten, dass sich neue Ableger ergeben; so scheint es beispielsweise plausibel, dass Strategien, die in Vielwelten-Interpretationen zur Definition verschiedener „Zweige” verfolgt werden, auch in den modalen Ansatz integriert werden können, um Einzelwelt-Möglichkeiten zu definieren. Unabhängig davon, wie diese Aussichten aussehen, kann man zumindest sagen, dass der modale Ansatz zu einer Reihe fruchtbarer Untersuchungen zur Struktur der Quantentheorie geführt hat.

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