Mai 23, 2024

Bohmsche Mechanik – Sheldon Goldstein

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Quelle: Bohmian Mechanics (Stanford Encyclopedia of Philosophy)

Die Bohmsche Mechanik, die auch als de Broglie-Bohm-Theorie, Pilotwellenmodell und kausale Interpretation der Quantenmechanik bezeichnet wird, ist eine Version der Quantentheorie, die 1927 von Louis de Broglie entdeckt und 1952 von David Bohm wiederentdeckt wurde. Sie ist das einfachste Beispiel dessen, was oft als Interpretation der Quantenmechanik mit verborgenen Variablen bezeichnet wird. In der bohmschen Mechanik wird ein System von Teilchen zum Teil durch seine Wellenfunktion beschrieben, die sich wie üblich gemäß der Schrödinger-Gleichung entwickelt. Die Wellenfunktion liefert jedoch nur eine Teilbeschreibung des Systems. Diese Beschreibung wird durch die Angabe der tatsächlichen Positionen der Teilchen vervollständigt. Letztere entwickeln sich gemäß der „Führungsgleichung“, die die Geschwindigkeiten der Teilchen in Form der Wellenfunktion ausdrückt. In der Bohmschen Mechanik entwickelt sich die Konfiguration eines Teilchensystems also durch eine deterministische Bewegung, die durch die Wellenfunktion gesteuert wird. Wenn beispielsweise ein Teilchen in einen Doppelspaltapparat geschickt wird, sind der Spalt, durch den es hindurchgeht, und seine Position bei der Ankunft auf der fotografischen Platte vollständig durch seine Ausgangsposition und Wellenfunktion bestimmt.

Die Bohmsche Mechanik übernimmt und expliziert die Nichtlokalität, die in der Vorstellung einer Wellenfunktion im Konfigurationsraum eines Vielteilchensystems enthalten ist, die in fast allen Formulierungen und Interpretationen der Quantentheorie enthalten ist. Sie erklärt alle Phänomene der nichtrelativistischen Quantenmechanik, von den Spektrallinien und der Streutheorie bis zur Supraleitung, dem Quanten-Hall-Effekt und der Quanteninformatik. Insbesondere die üblichen Messpostulate der Quantentheorie, einschließlich des Kollapses der Wellenfunktion und der Wahrscheinlichkeiten, die durch das absolute Quadrat der Wahrscheinlichkeitsamplituden gegeben sind, ergeben sich aus einer Analyse der beiden Bewegungsgleichungen: Schrödingers Gleichung und die Führungsgleichung. Es ist keine Berufung auf einen besonderen, etwas undurchsichtigen Status der Beobachtung erforderlich.

1. Die Vollständigkeit der quantenmechanischen Beschreibung

Die Quantenmechanik leidet seit ihren Anfängen unter konzeptionellen Schwierigkeiten, trotz ihrer außerordentlichen Vorhersagekraft. Das Grundproblem ist, vereinfacht ausgedrückt, folgendes: Es ist überhaupt nicht klar, worum es in der Quantenmechanik geht. Was beschreibt die Quantenmechanik eigentlich?

Da man sich weitgehend einig ist, dass jedes quantenmechanische System vollständig durch seine Wellenfunktion beschrieben wird, könnte man meinen, dass es in der Quantenmechanik im Wesentlichen um das Verhalten von Wellenfunktionen geht. Natürlich wollte kein Physiker mehr als Erwin Schrödinger, der Vater der Wellenfunktion, dass dies wahr ist. Dennoch konnte Schrödinger dies letztlich nicht glauben. Seine Schwierigkeiten hatten wenig mit der Neuartigkeit der Wellenfunktion zu tun:

Dass es sich um ein abstraktes, unintuitives mathematisches Konstrukt handelt, ist ein Skrupel, der fast immer gegen neue Denkhilfen auftaucht und der keine große Botschaft enthält. (Schrödinger [1935] 1980: 327)

Vielmehr ging es darum, dass die „Unschärfe“, auf die die Ausbreitung der Wellenfunktion hindeutet, „makroskopisch greifbare und sichtbare Dinge betrifft, für die der Begriff ‚Unschärfe‘ einfach falsch erscheint“.

In demselben Papier stellte Schrödinger beispielsweise in Anlehnung an Einstein in den Solvay-Diskussionen von 1927 (S. 440-41 in Bacciagaluppi & Valentini 2009) fest, dass es beim radioaktiven Zerfall passieren kann, dass

das austretende Teilchen … als eine Kugelwelle … beschrieben [wird], die kontinuierlich auf einen umgebenden Leuchtschirm in seiner gesamten Ausdehnung auftrifft. Der Schirm zeigt jedoch kein mehr oder weniger gleichmäßiges Flächenleuchten, sondern leuchtet in einem Augenblick an einer Stelle auf …. (Schrödinger [1935] 1980: 327-328)

Und er bemerkte, dass man leicht, z. B. durch Einbeziehung einer Katze in das System, „ziemlich lächerliche Fälle“ arrangieren kann wie z.B

die ψ-Funktion des gesamten Systems, in dem die lebende und die tote Katze (entschuldigen Sie den Ausdruck) zu gleichen Teilen vermischt oder verschmiert sind. (Schrödinger [1935] 1980: 328)

Wegen des „Messproblems“, der makroskopischen Überlagerungen, fiel es Schrödinger schwer, die Wellenfunktion als „Abbildung der Wirklichkeit“ zu betrachten. Aber was ist es dann? Mit offensichtlicher Missbilligung stellt Schrödinger fest, dass

die herrschende Lehre sich oder uns [rettet], indem sie auf die Erkenntnistheorie zurückgreift. Man sagt uns, dass es keinen Unterschied gibt zwischen dem Zustand eines natürlichen Objekts und dem, was ich darüber weiß, oder vielleicht besser, was ich darüber wissen kann, wenn ich mir etwas Mühe gebe. Eigentlich – so sagt man – gibt es an sich nur Bewusstsein, Beobachtung, Messung. (Schrödinger [1935] 1980: 328)

Viele Physiker geben Lippenbekenntnisse zur Kopenhagener Deutung ab – dass es in der Quantenmechanik im Wesentlichen um Beobachtung oder Messergebnisse geht. Aber (mit Ausnahme der Befürworter des QBismus) wird es immer schwieriger, jemanden zu finden, der diese Interpretation verteidigt, wenn man ihn fragt. Es scheint klar zu sein, dass es in der Quantenmechanik im Wesentlichen um Atome und Elektronen, Quarks und Strings geht, nicht um jene besonderen makroskopischen Regelmäßigkeiten, die mit dem verbunden sind, was wir Messungen der Eigenschaften dieser Dinge nennen. Aber wenn diese Entitäten nicht irgendwie mit der Wellenfunktion selbst identifiziert werden – und wenn die Rede von ihnen nicht nur eine Abkürzung für ausführliche Aussagen über Messungen ist – wo sind sie dann in der Quantenbeschreibung zu finden?

Es gibt vielleicht einen ganz einfachen Grund, warum es so schwierig ist, in der Quantenbeschreibung die Objekte zu erkennen, die die Quantenmechanik unserer Meinung nach beschreiben sollte. Vielleicht ist die quantenmechanische Beschreibung nicht die ganze Geschichte – eine Möglichkeit, die vor allem mit Albert Einstein in Verbindung gebracht wird (eine allgemeine Erörterung von Einsteins Wissenschaftsphilosophie und insbesondere seines Ansatzes in Bezug auf die gegensätzlichen Positionen von Realismus und Positivismus finden Sie im Eintrag über Einsteins Wissenschaftsphilosophie).

Im Jahr 1935 verteidigten Einstein, Boris Podolsky und Nathan Rosen diese Möglichkeit in ihrem berühmten EPR-Papier. Sie schlossen mit dieser Beobachtung:

Wir haben damit zwar gezeigt, dass die Wellenfunktion keine vollständige Beschreibung der physikalischen Realität liefert, aber wir haben die Frage offen gelassen, ob es eine solche Beschreibung gibt oder nicht. Wir glauben jedoch, dass eine solche Theorie möglich ist. (Einstein et al. 1935: 780)

Das Argument, das im EPR-Papier zur Untermauerung dieser Schlussfolgerung vorgebracht wird, beruft sich auf Quantenkorrelationen und die Annahme der Lokalität. (Siehe die Einträge über das Einstein-Podolsky-Rosen-Argument in der Quantentheorie und über Quantenverschränkung und Information).

Später, auf der Grundlage mehr oder weniger derselben Überlegungen wie der oben zitierten von Schrödinger, kam Einstein wiederum zu dem Schluss, dass die Wellenfunktion keine vollständige Beschreibung einzelner Systeme liefert – eine Idee, die er als „die am nächsten liegende Interpretation“ bezeichnete (Einstein 1949: 672). In Bezug auf eine Theorie, die eine vollständigere Beschreibung enthält, bemerkte Einstein, dass

die statistische Quantentheorie … eine annähernd analoge Stellung zur statistischen Mechanik im Rahmen der klassischen Mechanik einnehmen [würde]. (Einstein 1949: 672)

Wir stellen hier fest und zeigen weiter unten, dass die Bohmsche Mechanik genau dieser Beschreibung entspricht.

2. Die Unmöglichkeit verborgener Variablen … oder die Unvermeidbarkeit der Nichtlokalität?

John von Neumann, einer der größten Mathematiker des 20. Jahrhunderts, behauptete, er habe bewiesen, dass Einsteins Traum von einer deterministischen Ergänzung oder Neuinterpretation der Quantentheorie mathematisch unmöglich sei. Er kam zu dem Schluss, dass

Es […] also nicht, wie oft angenommen wird, um eine Umdeutung der Quantenmechanik [geht] – das gegenwärtige System der Quantenmechanik müsste objektiv falsch sein, damit eine andere Beschreibung der Elementarprozesse als die statistische möglich wäre. (von Neumann [1932] 1955: 325)

Physiker und Wissenschaftsphilosophen akzeptierten von Neumanns Behauptung fast durchweg (die Philosophin Grete Hermann war eine bemerkenswerte Ausnahme). Max Born beispielsweise, der die statistische Interpretation der Wellenfunktion formulierte, versicherte uns, dass

keine verborgenen Parameter eingeführt werden [können], mit deren Hilfe die indeterministische Beschreibung in eine deterministische umgewandelt werden könnte. Wenn also eine künftige Theorie deterministisch sein sollte, kann sie nicht eine Modifikation der gegenwärtigen sein, sondern muss wesentlich anders sein. (Born 1949: 109)

Die Bohmsche Mechanik ist ein Gegenbeispiel zu den Behauptungen von Neumann und Born. Daher muss von Neumanns Argument falsch sein. Tatsächlich sind John Bell zufolge die Annahmen von Neumanns (über die Beziehungen zwischen den Werten der Quantenobservablen, die in einer Theorie der verborgenen Variablen erfüllt sein müssen, siehe Bell 1966) so unvernünftig, dass „der Beweis von Neumann nicht nur falsch, sondern töricht ist!“ (Mermin 1993: 805, fn 8, zitiert ein Interview in Omni, Mai, 1988: 88). Nichtsdestotrotz verlassen sich einige Physiker weiterhin auf von Neumanns Beweis.

In jüngster Zeit führen die Physiker jedoch häufiger das Kochen-Specker-Theorem und noch häufiger die Bellsche Ungleichung an, um die Behauptung zu untermauern, dass eine deterministische Vervollständigung der Quantentheorie unmöglich sei. Auch ein Vierteljahrhundert nach der Wiederentdeckung der Bohmschen Mechanik im Jahr 1952 finden wir immer noch Aussagen wie diese:

Der Beweis, den er [von Neumann] veröffentlichte …, obwohl er später von Kochen und Specker (1967) viel überzeugender gemacht wurde, verwendet immer noch Annahmen, die meiner Meinung nach ganz vernünftig in Frage gestellt werden können. … Das meiner Meinung nach überzeugendste Argument gegen die Theorie der verborgenen Variablen wurde von J.S. Bell (1964) vorgelegt. (Wigner [1976] 1983: 291)

Nun gibt es noch viele weitere Aussagen ähnlicher Art, die wir anführen könnten. Dieses Zitat ist bedeutsam, weil Wigner einer der führenden Physiker seiner Generation war. Im Gegensatz zu den meisten seiner Zeitgenossen war er außerdem zutiefst besorgt über die begrifflichen Grundlagen der Quantenmechanik und schrieb über dieses Thema mit großer Klarheit und Einsicht.

Es gab jedoch einen Physiker, der sich zu diesem Thema mit noch größerer Klarheit und Einsicht äußerte als Wigner selbst: J. S. Bell, den Wigner dafür lobt, dass er die Unmöglichkeit einer deterministischen Vervollständigung der Quantentheorie wie der Bohmschen Mechanik nachgewiesen habe. Bell selbst raegierte auf die Entdeckung von Bohm wie folgt:

Aber 1952 sah ich das Unmögliche geschehen. Es war in den Arbeiten von David Bohm. Bohm zeigte ausdrücklich, wie Parameter in die nichtrelativistische Wellenmechanik eingeführt werden konnten, mit deren Hilfe die indeterministische Beschreibung in eine deterministische umgewandelt werden konnte. Noch wichtiger ist meiner Meinung nach, dass die Subjektivität der orthodoxen Version, der notwendige Bezug auf den „Beobachter“, beseitigt werden konnte. …

Aber warum hatte Born mir dann nicht von dieser „Pilotwelle“ erzählt? Und sei es nur, um darauf hinzuweisen, was daran falsch war? Warum hat von Neumann sie nicht in Betracht gezogen? Und noch außergewöhnlicher: Warum hat man nach 1952 und noch bis 1978 immer wieder „Unmöglichkeitsbeweise“ erbracht? … Warum wird das Bild der Pilotwelle in Lehrbüchern ignoriert? Sollte es nicht gelehrt werden, nicht als einziger Weg, sondern als Gegenmittel gegen die vorherrschende Selbstgefälligkeit? Um uns zu zeigen, dass Vagheit, Subjektivität und Indeterminismus uns nicht durch experimentelle Fakten aufgezwungen werden, sondern durch bewusste theoretische Entscheidungen? (Bell 1982, wieder abgedruckt in 1987c: 160)

Ungeachtet der gegenteiligen Behauptung von Wigner hat Bell weder die Unmöglichkeit einer deterministischen Neuformulierung der Quantentheorie bewiesen, noch hat er jemals behauptet, dies getan zu haben. Im Gegenteil: Bis zu seinem frühen Tod im Jahr 1990 war Bell der Hauptvertreter und für einen Großteil dieses Zeitraums fast der einzige Vertreter eben jener Theorie, der Bohmschen Mechanik, die er angeblich zerstörte.

Die Bohmsche Mechanik ist natürlich ebenso ein Gegenbeispiel für das Kochen-Specker-Argument der Unmöglichkeit verborgener Variablen wie für das von von Neumann. Sie ist offensichtlich ein Gegenbeispiel für jedes derartige Argument. Wie vernünftig die Annahmen eines solchen Arguments auch sein mögen, einige von ihnen müssen für die Bohmsche Mechanik versagen.

Wigner hat ganz zu Recht darauf hingewiesen, dass die Annahmen von Kochen und Specker überzeugender seien als die von von Neumann. Sie scheinen in der Tat recht vernünftig zu sein. Das sind sie aber nicht. Der Eindruck, dass sie es sind, entsteht durch einen weit verbreiteten Irrtum – einen unkritischen Realismus in Bezug auf Operatoren, den wir weiter unten in den Abschnitten über Quantenobservablen, Spin und Kontextualität erörtern.

John Bell ersetzte die „willkürlichen Axiome“ (Bell 1966, nachgedruckt 1987c: 11) von Kochen-Specker und anderen durch die Annahme der Lokalität, dass es kein Handeln auf Distanz gibt. Es wäre schwer, gegen die Angemessenheit einer solchen Annahme zu argumentieren, selbst wenn man so kühn wäre, an ihrer Unvermeidbarkeit zu zweifeln. Bell zeigte, dass jede Formulierung der Quantenmechanik mit verborgenen Variablen nichtlokal sein muss, wie es auch die Bohmsche Mechanik ist. Aber er zeigte noch viel mehr. (Weitere Einzelheiten zu Bells Lokalitätsannahme finden Sie in Goldstein et al. 2011 und Norsen 2011).

In einer berühmten Arbeit, die er 1964 veröffentlichte, zeigte Bell, dass die Quantentheorie selbst irreduzibel nichtlokal ist (genauer gesagt gilt Bells Analyse für jede Eine-Welt-Version der Quantentheorie, d. h. für jede Version, bei der Messungen zwar zufällige, aber dennoch eindeutige und definitive Ergebnisse haben, im Gegensatz zu Everetts Viele-Welten-Version der Quantentheorie). Diese Tatsache der Quantenmechanik, die auf einer kurzen und mathematisch einfachen Analyse beruht, hätte schon bald nach der Entdeckung der Quantentheorie in den 1920er Jahren erkannt werden können. Dass dies nicht geschah, liegt zweifellos zum Teil an der Unklarheit der orthodoxen Quantentheorie und an der Mehrdeutigkeit ihrer Verpflichtungen (es wäre beinahe dazu gekommen: Schrödinger kam 1935 in seinem berühmten Katzenpapier der Entdeckung eines Bell-artigen Arguments für die Quanten-Nichtlokalität bemerkenswert nahe. Für Details siehe Hemmick und Shakur 2012, Kapitel 4). Es war in der Tat seine Untersuchung der Bohmschen Mechanik, die Bell zu seiner Analyse der Nichtlokalität führte. Im Zuge der Untersuchung der Bohmschen Mechanik stellte er fest, dass:

In dieser Theorie gibt es einen expliziten Kausalmechanismus, bei dem die Anordnung eines Geräts die mit einem anderen Gerät erzielten Ergebnisse beeinflusst. …

Bohm war sich dieser Merkmale seines Schemas natürlich sehr wohl bewusst und hat ihnen viel Aufmerksamkeit geschenkt. Es muss jedoch betont werden, dass es nach dem Wissen des Verfassers keinen Beweis dafür gibt, dass jede verborgene Variable in der Quantenmechanik diesen außergewöhnlichen Charakter haben muss. Es wäre daher vielleicht interessant, weitere „Unmöglichkeitsbeweise“ zu führen, indem man die oben beanstandeten willkürlichen Axiome durch eine Bedingung der Lokalität oder der Trennbarkeit entfernter Systeme ersetzt. (Bell 1966: 452; wieder abgedruckt 1987c: 11)

In einer Fußnote fügte Bell hinzu, dass „seit der Fertigstellung dieser Arbeit ein solcher Beweis gefunden wurde“ (1966: 452, Fn. 19). Er veröffentlichte ihn 1964 in seinem Aufsatz „On the Einstein-Podolsky-Rosen Paradox“. In diesem Papier leitet er die Bellsche Ungleichung ab, die Grundlage seiner Schlussfolgerung der Quanten-Nichtlokalität (siehe den Eintrag über das Bellsche Theorem. Für eine Diskussion darüber, wie Nichtlokalität in der Bohmschen Mechanik entsteht, siehe Abschnitt 13).

Es ist hervorzuheben, dass Bells Analyse in der Tat zeigt, dass jede (Eine-Welt-)Erklärung von Quantenphänomenen nichtlokal sein muss, nicht nur jede Erklärung mit versteckten Variablen. Bell zeigte, dass die Vorhersagen der Standard-Quantentheorie selbst Nichtlokalität implizieren. Wenn also diese Vorhersagen die Natur bestimmen, dann ist die Natur nichtlokal [dass die Natur auf diese Weise gesteuert wird, sogar in den entscheidenden EPR-Korrelationsexperimenten, ist inzwischen durch eine Vielzahl von Experimenten nachgewiesen worden. Das erste einigermaßen schlüssige Experiment dieser Art war das von Aspect (Aspect, Dalibard, & Roger 1982). Noch schlüssiger ist das Experiment von Weihs et al. 1998. In jüngster Zeit wurden mehrere „schlupflochfreie“ Tests der Bellschen Ungleichung durchgeführt (Giustina et al. 2015; Hensen et al. 2015; und Shalm et al. 2015. Siehe auch den Eintrag zu Bells Theorem).

Auch Bell betonte diesen Punkt (mit Determinismus meint Bell hier versteckte Variablen):

Es ist wichtig, darauf hinzuweisen, dass der Determinismus in dem begrenzten Maße, in dem er im EPR-Argument eine Rolle spielt, nicht vorausgesetzt, sondern abgeleitet wird. Heilig ist das Prinzip der „lokalen Kausalität“ – oder „keine Wirkung auf Distanz“…

Es ist bemerkenswert schwierig, diesen Punkt zu vermitteln, dass der Determinismus keine Voraussetzung für die Analyse ist. (Bell 1981a, nachgedruckt 1987c: 143)

Obwohl ich darauf bestehe, dass der Determinismus nicht vorausgesetzt, sondern abgeleitet wurde, könnte man dennoch vermuten, dass die Beschäftigung mit dem Determinismus das Problem darstellt. Beachten Sie also, dass das folgende Argument den Determinismus mit keinem Wort erwähnt. … Schließlich könnte man vermuten, dass der Begriff des Teilchens und der Teilchenbahn … uns irgendwie in die Irre geführt hat. … Das folgende Argument wird also weder Teilchen, noch Felder, noch irgendein anderes spezielles Bild dessen, was auf mikroskopischer Ebene vor sich geht, erwähnen. Es wird auch nicht der Begriff „quantenmechanisches System“ verwendet, der sich unglücklich auf die Diskussion auswirken kann. Die Schwierigkeit wird nicht durch ein solches Bild oder eine solche Terminologie verursacht. Sie ergibt sich aus den Vorhersagen über die Korrelationen in den sichtbaren Ergebnissen bestimmter denkbarer Versuchsanordnungen. (Bell 1981a, nachgedruckt 1987c: 150)

Das „Problem“ und die „Schwierigkeit“, auf die sich Bell oben bezieht, ist der Konflikt zwischen den Vorhersagen der Quantentheorie und dem, was sich aus der Annahme der Lokalität in Bohms Version des EPR-Arguments ableiten lässt – nennen wir es C -, ein Konflikt, der durch die Bellsche Ungleichung begründet ist. C betrifft zufällig die Existenz einer bestimmten Art von verborgenen Variablen, die man als lokale verborgene Variablen bezeichnen könnte, aber diese Tatsache ist von geringer inhaltlicher Bedeutung. Wichtig ist nicht so sehr die Identität von C, sondern die Tatsache, dass C mit den Vorhersagen der Quantentheorie unvereinbar ist. Die Identität von C ist jedoch von großer historischer Bedeutung: Sie ist verantwortlich für das Missverständnis – dass Bell bewiesen hat – dass verborgene Variablen unmöglich wären – eine Überzeugung, die bis vor kurzem von fast allen Physikern geteilt wurde, sowie für die auch heute noch fast allgemein vertretene Ansicht, dass Bells Ergebnis lokale verborgene Variablen ausschließe – eine Ansicht, die irreführend ist.

Auch hier drückt Bell die Logik seiner zweiteiligen Demonstration der Quanten-Nichtlokalität aus, deren erster Teil Bohms Version des EPR-Arguments ist, das die EPRB-Korrelationen betrifft:

Lassen Sie mich noch einmal die Logik zusammenfassen, die in die Sackgasse führt. Die EPRB-Korrelationen sind so beschaffen, dass das Ergebnis des Experiments auf der einen Seite sofort das Ergebnis auf der anderen Seite vorhersagt, wenn die Analysierenden parallel sind. Wenn wir den Eingriff auf der einen Seite nicht als kausalen Einfluss auf die andere Seite akzeptieren, scheinen wir gezwungen zuzugeben, dass die Ergebnisse auf beiden Seiten ohnehin im Voraus bestimmt werden, unabhängig vom Eingriff auf der anderen Seite, durch Signale von der Quelle und durch die lokale Magneteinstellung. Dies hat jedoch Auswirkungen auf nicht-parallele Umgebungen, die im Widerspruch zu denen der Quantenmechanik stehen. Wir können also den Eingriff auf der einen Seite nicht als kausalen Einfluss auf die andere Seite ausschließen. (Bell 1981a, nachgedruckt 1987c: 149)

Wie bei so ziemlich allem in den Grundlagen der Quantenmechanik gibt es nach wie vor erhebliche Kontroversen darüber, was genau Bells Analyse zeigt (für weitere Einblicke in die verschiedenen Kontroversen siehe Maudlin 2014 und Goldstein et al. 2011. Siehe auch den Eintrag zu Bells Theorem). Nichtsdestotrotz ist die Meinung von Bell selbst darüber, was er gezeigt hat, vollkommen klar. Siehe Norsen 2011 für einen schönen Überblick über Bells Ansichten zu diesem Thema.

3. Geschichte

Der Pilotwellenansatz der Quantentheorie wurde von Einstein initiiert, noch vor der Entdeckung der Quantenmechanik selbst. Einstein hoffte, dass Interferenzphänomene mit teilchenähnlichen Photonen erklärt werden könnten, wenn die Bewegung der Photonen irgendwie durch das elektromagnetische Feld gelenkt würde, das somit die Rolle eines so genannten Führungsfeldes spielen würde (siehe Wigner [1976] 1983: 262 und Bacciagaluppi und Valentini 2009: Kap. 9). Während sich die Vorstellung des elektromagnetischen Feldes als Führungsfeld als eher problematisch herausstellte, untersuchte Max Born in seiner frühen Arbeit, mit der er die Quantenstreutheorie begründete (Born 1926), die Möglichkeit, dass die Wellenfunktion diese Rolle des Führungsfeldes oder der Leitwelle für ein System von Elektronen spielen könnte. Heisenberg gefiel das überhaupt nicht.

Nicht lange nach Schrödingers Entdeckung der Wellenmechanik im Jahr 1926, d. h. der Schrödingergleichung, die auf Louis de Broglies Doktorarbeit von 1924 zurückgeht, entdeckte de Broglie die Bohmsche Mechanik: Im Jahr 1927 fand de Broglie eine Gleichung der Teilchenbewegung, die der Leitgleichung für eine skalare Wellenfunktion entsprach (de Broglie 1928: 119), und er erklärte auf dem Solvay-Kongress 1927, wie diese Bewegung Quanteninterferenzphänomene erklären könnte. Entgegen den Andeutungen von Bacciagaluppi und Valentini (2009) reagierte de Broglie jedoch sehr schlecht auf einen Einwand von Wolfgang Pauli (Pauli 1928) bezüglich der inelastischen Streuung, was bei den illustren Zuhörern des Kongresses zweifellos einen eher schlechten Eindruck hinterließ.

Born und de Broglie gaben den Pilotwellenansatz sehr schnell auf und wurden zu begeisterten Anhängern des sich rasch entwickelnden Konsenses zugunsten der Kopenhagener Interpretation. David Bohm (1952) entdeckte die Pilotwellentheorie von de Broglie im Jahr 1952 wieder. Er war der erste, der ihre Bedeutung und Auswirkungen wirklich verstand. John Bell wurde in den sechziger, siebziger und achtziger Jahren ihr Hauptvertreter.

Eine sehr gute Diskussion über die Geschichte der Quantenmechanik, die Debatten über ihre Grundlagen und über die Rezeption der Bohmschen Mechanik im Besonderen findet sich in Bricmont 2016 und Becker 2018. Siehe auch Beller 1999.

4. Die Definitionsgleichungen der Bohmschen Mechanik

In der Bohmschen Mechanik liefert die Wellenfunktion, die der Schrödingergleichung gehorcht, keine vollständige Beschreibung oder Darstellung eines Quantensystems. Vielmehr regelt sie die Bewegung der fundamentalen Variablen, der Positionen der Teilchen: In der Bohmschen mechanischen Version der nichtrelativistischen Quantentheorie geht es in der Quantenmechanik im Wesentlichen um das Verhalten der Teilchen; die Teilchen werden durch ihre Positionen beschrieben, und die Bohmsche Mechanik schreibt vor, wie sich diese mit der Zeit verändern. In diesem Sinne sind für die Bohmsche Mechanik die Teilchen primär oder primitiv, während die Wellenfunktion sekundär oder abgeleitet ist (die bohmsche Mechanik ist also wie die klassische Mechanik eine Theorie, die auf einer primitiven Ontologie beruht, nämlich einer Ontologie der Teilchen, die durch ihre Position beschrieben werden. Diese Terminologie wurde in Dürr et al. 1992a eingeführt. Weitere Informationen über den Begriff der primitiven Ontologie finden Sie in Allori et al. 2008 und Allori 2015).

Warnung: Die Positionen der Teilchen in der Bohmschen Mechanik sind die „verborgenen Variablen“ – eine unglückliche Terminologie. Wie Bell unter Bezugnahme auf die Bohmsche Mechanik und ähnliche Theorien schreibt,

Absurderweise werden solche Theorien als Theorien der „verborgenen Variablen“ bezeichnet. Absurd, denn dort findet man in der Wellenfunktion kein Abbild der sichtbaren Welt und der Ergebnisse von Experimenten, sondern in den ergänzenden „verborgenen“ (!) Variablen. Natürlich beschränken sich die zusätzlichen Variablen nicht auf die sichtbare „makroskopische“ Skala. Denn eine solche Skala lässt sich nicht genau definieren. Der „mikroskopische“ Aspekt der komplementären Variablen ist in der Tat vor uns verborgen. Aber Dinge zuzugeben, die für die groben Geschöpfe, die wir sind, nicht sichtbar sind, zeugt meiner Meinung nach von einer anständigen Demut und nicht nur von einer beklagenswerten Sucht nach Metaphysik. Auf jeden Fall ist die verborgenste aller Variablen im Bild der Pilotwelle die Wellenfunktion, die sich uns nur durch ihren Einfluss auf die komplementären Variablen offenbart. (1987a, nachgedruckt 1987c: 201-202)

Die bohmsche Mechanik ist die minimale Ergänzung der Schrödinger-Gleichung für ein nichtrelativistisches Teilchensystem zu einer Theorie, die eine echte Teilchenbewegung beschreibt. In der bohmschen Mechanik wird der Zustand eines Systems aus N Teilchen durch seine Wellenfunktion \(\psi\) = ψ(q1,…,qN)=\(\psi\)(q) beschrieben, eine komplexe (oder spinorwertige) Funktion auf dem Raum möglicher Konfigurationen q des Systems, zusammen mit seiner tatsächlichen Konfiguration Q, die durch die tatsächlichen Positionen Q1,…,QN seiner Teilchen definiert ist (das Wort „Spinor“ bezieht sich auf ein geeignetes Feld komplexer Zahlen anstelle einer einzigen Zahl. Spinorwertige Wellenfunktionen werden in der Quantenmechanik verwendet, um Elektronen und andere Quantenteilchen zu beschreiben, die „Spin“ haben.) Die Theorie wird dann durch zwei Evolutionsgleichungen definiert: Schrödingers Gleichung

\( i\hbar\frac{\partial\psi}{{\partial}{t}} = H\psi \)

für \(\psi\)(t), wobei H der nichtrelativistische (Schrödinger-)Hamiltonian ist, der die Massen der Teilchen und einen Term der potentiellen Energie enthält, und (mit Im[z] für den Imaginärteil b einer komplexen Zahl z=a+ib) eine Evolutionsgleichung erster Ordnung,

\( \frac{dQ_{k}}{dt} = \frac{\hbar}{m_{k}}Im\frac{\psi^{*}\partial_{k}\psi}{\psi^{*}\psi}(Q_{1},…,Q_{N}) \)

für Q(t), die einfachste Evolutionsgleichung erster Ordnung für die Positionen der Teilchen, die mit der galileischen (und zeitumkehrenden) Kovarianz der Schrödinger-Evolution vereinbar ist (Dürr, Goldstein, & Zanghì 1992a: 852-854). Dabei ist ℏ die Plancksche Konstante geteilt durch 2π, mk die Masse des k-ten Teilchens und ∂k=(∂/∂xk,∂/∂yk,∂/∂zk)der Gradient in Bezug auf die allgemeinen Koordinaten qk=(xk,yk,zk) des k-ten Teilchens. Wenn ψ spinorwertig ist, sollten die beiden Produkte, die \(\psi\) in die Gleichung einbeziehen, als Skalarprodukte (mit Summen von Produkten von Spinorkomponenten) verstanden werden. Wenn äußere Magnetfelder vorhanden sind, sollte der Gradient als kovariante Ableitung verstanden werden, die das Vektorpotential einbezieht (da der Nenner auf der rechten Seite der Führungsgleichung an den Knotenpunkten von \(\psi\) verschwindet, ist die globale Existenz und Eindeutigkeit der Bohmschen Dynamik eine nicht triviale Angelegenheit. Sie wird in Berndl, Dürr, et al. 1995 und in Teufel und Tumulka 2005 bewiesen).

Für ein System mit N Teilchen definieren diese beiden Gleichungen (zusammen mit der detaillierten Spezifikation des Hamiltonian, einschließlich aller Wechselwirkungen, die zur potenziellen Energie beitragen) die Bohmsche Mechanik vollständig. Diese deterministische Theorie der bewegten Teilchen erklärt alle Phänomene der nichtrelativistischen Quantenmechanik, von Interferenzeffekten über Spektrallinien (Bohm 1952: 175-178) bis zum Spin (Bell 1964: 10). Und zwar auf ganz gewöhnliche Weise, wie wir in den folgenden Abschnitten erläutern.

Für eine skalare Wellenfunktion, die Teilchen ohne Spin beschreibt, ist die Form der obigen Leitgleichung etwas komplizierter als nötig, da sich die komplexe Konjugierte der Wellenfunktion, die im Zähler und im Nenner erscheint, aufhebt. Sucht man nach einer Evolutionsgleichung für die Konfiguration, die mit den Raum-Zeit-Symmetrien der Schrödingergleichung vereinbar ist, so stößt man fast sofort auf die Leitgleichung in dieser einfacheren Form als einfachste Möglichkeit.

Die obige Form hat jedoch zwei Vorteile: Erstens ist sie für Teilchen mit Spin sinnvoll – und tatsächlich erklärt die Bohmsche Mechanik ohne weiteres alle scheinbar paradoxen Quantenphänomene, die mit Spin verbunden sind. Zweitens – und das ist entscheidend für die Tatsache, dass die Bohmsche Mechanik empirisch äquivalent zur orthodoxen Quantentheorie ist – ist die rechte Seite der Leitgleichung J/ϱ, das Verhältnis des Quantenwahrscheinlichkeitsstroms zur Quantenwahrscheinlichkeitsdichte. Dies zeigt, dass es keinerlei Phantasie erfordert, die Leitgleichung aus der Schrödingergleichung zu erraten, sofern man danach sucht, denn die klassische Formel für den Strom ist Dichte mal Geschwindigkeit. Außerdem folgt aus der Quantenkontinuitätsgleichung ∂ϱ/∂t+divJ=0, einer unmittelbaren Konsequenz der Schrödinger-Gleichung, dass, wenn zu einem bestimmten Zeitpunkt (sagen wir dem Anfangszeitpunkt) die Konfiguration Q unseres Systems zufällig ist, mit einer Verteilung, die durch |\(\psi\)|2=\(\psi\)*\(\psi\) gegeben ist, dies immer wahr sein wird (vorausgesetzt, das System interagiert nicht mit seiner Umgebung).

Dies zeigt, dass die Behauptung falsch ist, die Vorhersagen der Quantentheorie seien unvereinbar mit der Existenz verborgener Variablen und einem zugrundeliegenden deterministischen Modell, in dem der Quantenzufall aus der Mittelung über Unwissenheit resultiert. Die Bohmsche Mechanik liefert uns genau ein solches Modell: Für jedes Quantenexperiment nehmen wir als relevantes Bohmsches System lediglich das kombinierte System an, einschließlich des Systems, an dem das Experiment durchgeführt wird, sowie aller Messinstrumente und anderer Geräte, die zur Durchführung des Experiments verwendet werden (zusammen mit allen anderen Systemen, mit denen diese im Laufe des Experiments in signifikanter Wechselwirkung stehen). Wir erhalten dann das Modell der „verborgenen Variablen“, indem wir die Anfangskonfiguration dieses großen Systems auf die übliche quantenmechanische Weise als zufällig betrachten, mit einer Verteilung, die durch |ψ|2 gegeben ist. Die Leitgleichung für das große System wandelt dann die Anfangskonfiguration in die Endkonfiguration am Ende des Experiments um. Daraus folgt, dass diese Endkonfiguration des großen Systems, insbesondere die Ausrichtung der Zeiger der Instrumente, ebenfalls quantenmechanisch verteilt ist. Unser deterministisches Bohmsches Modell führt also zu den üblichen Quantenvorhersagen für die Ergebnisse des Experiments.

Wie der vorangehende Absatz andeutet und wie wir später noch ausführlicher erörtern werden, braucht die Bohmsche Mechanik keine „Messpostulate“ oder Axiome, die das Verhalten anderer „Observablen“ regeln. Solche Axiome wären bestenfalls redundant und könnten inkonsistent sein.

Neben der Leitgleichung gibt es noch andere Geschwindigkeitsformeln mit guten Eigenschaften, einschließlich der Galilei-Symmetrie, die zu Theorien führen, die empirisch äquivalent zur orthodoxen Quantentheorie und zur Bohmschen Mechanik sind (Deotto & Ghirardi 1998). Die Bohmsche Wahl ist wohl die einfachste. Darüber hinaus hat Wiseman (2007) gezeigt, dass die Bohmsche Geschwindigkeitsformel, die durch die Leitgleichung gegeben ist, nach der orthodoxen Quantentheorie bei einer „schwachen Messung“ der Geschwindigkeit eines Teilchens gefunden werden würde. (Marian, Zanghì und Oriols 2016 haben kürzlich ein explizites Verfahren zur Durchführung einer solchen Messung vorgeschlagen.) Und etwas paradoxerweise kann gezeigt werden (Dürr, Goldstein, & Zanghì 2009), dass eine solche Messung gemäß der Bohmschen Mechanik tatsächlich eine echte Messung der Geschwindigkeit des Teilchens ist – trotz der Existenz empirisch äquivalenter Geschwindigkeitsformeln! In ähnlicher Weise könnten schwache Messungen zur Messung von Trajektorien verwendet werden. Tatsächlich haben Kocsis et al. (2011) vor kurzem schwache Messungen verwendet, um die Flugbahnen einzelner Photonen zu rekonstruieren, „während sie die Zwei-Spalt-Interferenz durchlaufen“, und dabei „die in der Bohm-de Broglie-Interpretation der Quantenmechanik vorhergesagten“ gefunden. Und Mahler et al. 2016 haben mit schwachen Messungen experimentell „Bohmsche Trajektorien“ für verschränkte Photonen gefunden, die die Quanten-Nichtlokalität und das Phänomen der „surrealen Bohmschen Trajektorien“ veranschaulichen.

Für ein einzelnes Teilchen definiert die Führungsgleichung die Bewegung eines von einer Welle geführten Teilchens im physikalischen 3-dimensionalen Raum. Man könnte erwarten, dass ähnliche Bewegungen auch klassisch auftreten können. Couder & Fort (2006) haben durch die Untersuchung von interferenzähnlichen Phänomenen bei der Bewegung von aufprallenden Öltröpfchen in einer Flüssigkeit gezeigt, dass dies tatsächlich der Fall ist. Bush (2015) hat diese Art von Möglichkeit für die Entstehung einer Bohmschen Version der Quantenmechanik aus so etwas wie der klassischen Strömungsdynamik weiter erforscht. Ein ernsthaftes Hindernis für den Erfolg eines solchen Programms ist die Quantenverschränkung und die Nichtlokalität, die für Quantensysteme mit vielen Teilchen charakteristisch sind.

Der Ansatz der „vielen interagierenden Welten“ von Hall, Deckert und Wiseman (2014), der von Sebens (2015) unabhängig weiterentwickelt wurde, behält die Teilchentrajektorien bei, versucht aber, eine Wellenfunktion auf der Ebene der fundamentalen Ontologie abzuschaffen. An ihre Stelle tritt eine große Anzahl von Trajektorien im Konfigurationsraum, wobei jede Trajektorie als tatsächlich betrachtet wird und den Bewegungen einer endlichen Anzahl von Teilchen im physikalischen Raum entspricht, die als Beschreibung einer eigenständigen Welt betrachtet werden. Diese interagieren so, dass sie von einer Wellenfunktion gesteuerte Trajektorien imitieren: eine grobkörnige Dichte von Welten tritt an die Stelle von |ψ|2. Die Geschwindigkeiten der Weltteilchen müssen zumindest näherungsweise mit ihren Konfigurationen über eine glatte Funktion im Konfigurationsraum verbunden sein. Diese Bedingung wäre für die Art von großen Systemen, die in der statistischen Mechanik untersucht werden, eher überraschend. Noch unmotivierter aus klassischer Sicht ist, dass die Geschwindigkeitsfunktion der Gradient einer mehrwertigen Funktion sein muss, die einer Bohr-Sommerfeld-ähnlichen Quantenbedingung gehorcht.

Wir betonen, dass die Bohmsche Mechanik als eigenständige Theorie betrachtet werden sollte. Ihre Lebensfähigkeit hängt nicht davon ab, dass sie aus einer anderen Theorie, sei sie klassisch oder nicht, ableitbar ist.

5. Das Quantenpotential

Die Bohmsche Mechanik, wie sie hier vorgestellt wird, ist eine Theorie erster Ordnung, in der die Geschwindigkeit, die Änderungsrate der Position, von grundlegender Bedeutung ist. Diese Größe, die durch die Leitgleichung gegeben ist, wird in der Theorie direkt und einfach spezifiziert. Die (Newtonschen) Begriffe der zweiten Ordnung wie Beschleunigung und Kraft, Arbeit und Energie spielen keine grundlegende Rolle. Bohm betrachtete seine Theorie jedoch nicht auf diese Weise. Er betrachtete sie grundsätzlich als eine Theorie zweiter Ordnung, die Teilchen beschreibt, die sich unter dem Einfluss von Kräften bewegen, zu denen allerdings auch eine Kraft gehört, die von einem „Quantenpotential“ herrührt.

In seiner Arbeit über verborgene Variablen aus dem Jahr 1952 gelangte Bohm zu seiner Theorie, indem er die Wellenfunktion in der Polarform ψ=Rexp(iS/ℏ) schrieb, wobei S und R reell sind, wobei R nicht negativ ist, und die Schrödingergleichung in Form dieser neuen Variablen umschrieb, um ein Paar gekoppelter Evolutionsgleichungen zu erhalten: die Kontinuitätsgleichung für ϱ=R2 und eine modifizierte Hamilton-Jacobi-Gleichung für S. Diese unterscheidet sich von der üblichen klassischen Hamilton-Jacobi-Gleichung nur durch das Auftreten eines zusätzlichen Terms, des Quantenpotentials

\( U = – \sum_{k}(\hbar/2m_{k})(\partial^{2}_{k}R/R) \),

neben dem klassischen potenziellen Energieterm.

Bohm verwendete dann die modifizierte Hamilton-Jacobi-Gleichung, um die Teilchenbahnen genauso zu definieren wie bei der klassischen Hamilton-Jacobi-Gleichung, d. h. durch Identifizierung von ∂kS mit mkvk, d. h. indem er

\( dQ_{k} / dt = \partial_{k}S/m_{k} \)

Dies ist gleichbedeutend mit der Führungsgleichung für Teilchen ohne Spin. [In dieser Form deuten die de Broglie-Relation p=ℏk (vor der Schrödinger-Gleichung) sowie die Eikonalgleichung der klassischen Optik bereits auf die Führungsgleichung hin.] Die sich daraus ergebende Bewegung entspricht genau dem, was man auf klassischem Wege erhalten würde, wenn auf die Teilchen zusätzlich zu den üblichen Kräften die durch das Quantenpotential erzeugte Kraft wirken würde.

Die Quantenpotentialformulierung der de Broglie-Bohm-Theorie ist immer noch ziemlich weit verbreitet. In den Monographien von Bohm und Hiley sowie von Holland wird die Theorie beispielsweise auf diese Weise dargestellt. Unabhängig davon, ob wir das Quantenpotenzial als grundlegend betrachten oder nicht, kann es in der Tat recht nützlich sein. Um am deutlichsten zu sehen, dass die Newtonsche Mechanik im klassischen Grenzfall aus der Bohmschen Mechanik hervorgehen sollte, ist es sinnvoll, die Theorie in die Hamilton-Jacobi-Form von Bohm zu transformieren. Die Größe des Quantenpotentials ist dann ein Maß für die Abweichung der Bohmschen Mechanik von ihrer klassischen Näherung. Darüber hinaus ist das Quantenpotenzial auch nützlich für die Entwicklung von Näherungsschemata für Lösungen der Schrödinger-Gleichung (Nerukh & Frederick 2000, Wyatt 2006).

Bohms Umschreibung der Schrödinger-Gleichung in Variablen, die in klassischen Begriffen interpretierbar erscheinen, ist jedoch nicht ohne Kosten verbunden. Der offensichtlichste ist eine Zunahme der Komplexität: Schrödingers Gleichung ist recht einfach und linear, während die modifizierte Hamilton-Jacobi-Gleichung etwas kompliziert und in hohem Maße nichtlinear ist. Außerdem erfordert die letztere, da sie R einbezieht, die Kontinuitätsgleichung für ihren Abschluss. Das Quantenpotential selbst ist weder einfach noch natürlich. Selbst Bohm erschien es „ziemlich seltsam und willkürlich“ (Bohm 1980: 80). Und es ist nicht sehr befriedigend, sich die Quantenrevolution als die Einsicht vorzustellen, dass die Natur doch klassisch ist, außer dass es in der Natur einen zusätzlichen Kraftterm gibt, der sich aus dem Quantenpotenzial ergibt und der eher ad hoc zu sein scheint. Die Künstlichkeit, die das Quantenpotential suggeriert, ist der Preis, den man dafür zahlt, dass man eine höchst unklassische Theorie in eine klassische Form gießt.

Außerdem ist die Verbindung zwischen klassischer Mechanik und Bohmscher Mechanik, die das Quantenpotential suggeriert, ziemlich irreführend. Die Bohmsche Mechanik ist nicht einfach klassische Mechanik mit einem zusätzlichen Kraftterm. In der Bohmschen Mechanik sind die Geschwindigkeiten nicht unabhängig von den Positionen, wie in der klassischen Mechanik, sondern werden durch die Führungsgleichung eingeschränkt (in der klassischen Hamilton-Jacobi-Theorie haben wir diese Gleichung für die Geschwindigkeit ebenfalls, aber dort kann die Hamilton-Jacobi-Funktion S vollständig eliminiert und die Beschreibung in Form von S vereinfacht und auf eine endlich-dimensionale Beschreibung reduziert werden, deren Basisvariablen die Positionen und die (unbehinderten) Impulse aller Teilchen sind, die durch die Hamilton- oder Newton-Gleichungen gegeben sind).

Der wohl schwerwiegendste Fehler in der Quantenpotentialformulierung der Bohmschen Mechanik besteht darin, dass sie einen völlig falschen Eindruck davon vermittelt, wie weit wir gehen müssen, um die orthodoxe Quantentheorie in etwas Rationaleres zu verwandeln. Das Quantenpotential suggeriert, wie schon oft gesagt wurde, dass die Umwandlung der Schrödingergleichung in eine Theorie, die Quantenphänomene, von denen viele dramatisch nichtlokal sind, „realistisch“ erklären kann, die Hinzufügung eines komplizierten Quantenpotentials mit stark nichtlokalem Charakter zur Theorie erfordere. Es sollte klar sein, dass diese Sichtweise unangemessen ist. Schließlich muss das Quantenpotential in der Formulierung der Bohmschen Mechanik nicht einmal erwähnt werden, und es spiegelt ohnehin nur die Wellenfunktion wider, die die Bohmsche Mechanik mit der orthodoxen Quantentheorie teilt.

6. Das Doppelspalt-Experiment

Nach Richard Feynman ist das Zwei-Spalt-Experiment für Elektronen

ein Phänomen, das unmöglich – absolut unmöglich – auf klassische Weise zu erklären ist und das den Kern der Quantenmechanik in sich trägt. In Wirklichkeit enthält es das einzige Geheimnis. (Feynman, Leighton, & Sands 1963: 37-2)

Dieses Experiment

ist so konzipiert, dass es alle Geheimnisse der Quantenmechanik enthält; dass man sich mit den Paradoxien, Geheimnissen und Eigenheiten der Natur hundertprozentig auseinandersetzen kann. (Feynman 1967: 130)

Zu der Frage,

Wie funktioniert es wirklich? Welche Maschinerie produziert dieses Ding eigentlich? Niemand kennt irgendeine Maschinerie. Niemand kann Ihnen eine tiefer gehende Erklärung dieses Phänomens geben, als ich sie gegeben habe; das heißt, eine Beschreibung davon. (Feynman 1967: 145)

Aber die Bohmsche Mechanik ist genau eine solche tiefere Erklärung. Sie löst das Dilemma des Auftretens von Teilchen- und Welleneigenschaften in ein und demselben Phänomen auf recht einfache Weise: Die Bohmsche Mechanik ist eine Bewegungstheorie, die ein Teilchen (oder Teilchen) beschreibt, das von einer Welle geführt wird. Hier haben wir eine Familie von Bohmschen Trajektorien für das Zwei-Spalt-Experiment.

Abbildung 1: Ein Ensemble von Trajektorien für das Zwei-Spalt-Experiment, einheitlich in den Spalträumen. (angepasst von Gernot Bauer aus Philippidis, Dewdney, & Hiley 1979: 23, Abb. 3)

Während jede Bahn nur einen Spalt durchläuft, durchläuft die Welle beide; das Interferenzprofil, das sich daher in der Welle entwickelt, erzeugt ein ähnliches Muster in den von der Welle geführten Bahnen.

Vergleichen Sie die Darstellung von Feynman mit der von Bell:

Geht aus der Kleinheit der Szintillation auf dem Bildschirm nicht hervor, dass wir es mit einem Teilchen zu tun haben? Und geht aus den Beugungs- und Interferenzmustern nicht hervor, dass die Bewegung des Teilchens von einer Welle gesteuert wird? De Broglie hat im Detail gezeigt, wie die Bewegung eines Teilchens, das nur eines von zwei Löchern im Schirm durchläuft, von Wellen beeinflusst werden kann, die sich durch beide Löcher ausbreiten. Und zwar so beeinflusst, dass das Teilchen nicht dorthin geht, wo sich die Wellen aufheben, sondern dorthin gezogen wird, wo sie zusammenwirken. Diese Idee erscheint mir so natürlich und einfach, um das Welle-Teilchen-Dilemma auf so klare und gewöhnliche Weise zu lösen, dass es mir ein großes Rätsel ist, dass sie so allgemein ignoriert wurde. (Bell [1989] 1987c: 191)

Der vielleicht rätselhafteste Aspekt des Doppelspaltexperiments ist der folgende: Wenn es auf irgendeine Weise möglich ist, den Spalt zu bestimmen, durch den das Teilchen läuft, wird das Interferenzmuster zerstört. Dieser dramatische Effekt der Beobachtung ist in der Tat eine einfache Folge der Bohmschen Mechanik. Um dies zu erkennen, muss man sich überlegen, was es bedeutet, den Spalt zu bestimmen, durch den das Teilchen hindurchgeht. Dabei muss es sich um eine Wechselwirkung mit einem anderen System handeln, das in die Analyse der Bohmschen Mechanik einbezogen werden muss.

Die Zerstörung der Interferenz ist natürlich mit der Bohmschen mechanischen Analyse der Quantenmessung verbunden (Bohm 1952). Sie erfolgt über den Mechanismus, der in der Bohmschen Mechanik zum „Kollaps der Wellenfunktion“ führt.

Eine verständliche Darstellung des Verhaltens von Bohmschen Trajektorien bei Streu- und Tunnelphänomenen findet sich in Norsen 2013.

7. Das Problem der Messung

Das Messproblem ist die am häufigsten genannte konzeptionelle Schwierigkeit, die die Quantenmechanik plagt (es läuft mehr oder weniger auf das Paradoxon von Schrödingers Katze hinaus). In der Tat ist das Messproblem für viele Physiker nicht nur eine konzeptionelle Schwierigkeit der Quantenmechanik, sondern die konzeptionelle Schwierigkeit schlechthin.

Das Problem lautet wie folgt. Nehmen wir an, dass die Wellenfunktion eines beliebigen Einzelsystems eine vollständige Beschreibung dieses Systems liefert. Wenn wir den Messprozess quantenmechanisch analysieren, stellen wir fest, dass die Wellenfunktion nach der Messung für das System und den Apparat, die sich aus der Schrödingergleichung für das zusammengesetzte System ergibt, typischerweise eine Überlagerung von Termen beinhaltet, die dem entsprechen, was wir als die verschiedenen möglichen Ergebnisse der Messung betrachten möchten – z. B. unterschiedliche Zeigerausrichtungen. Bei dieser Beschreibung der Situation nach der Messung ist es schwierig, das tatsächliche Ergebnis der Messung zu erkennen, z. B. eine bestimmte Zeigerausrichtung. Aber der ganze Sinn der Quantentheorie und der Grund, warum wir an sie glauben sollten, ist, dass sie eine überzeugende oder zumindest effiziente Erklärung für unsere Beobachtungen, d. h. für die Ergebnisse von Messungen, liefern soll. Kurz gesagt, das Messproblem ist folgendes: Die Quantentheorie besagt, dass Messungen in der Regel nicht zu den Ergebnissen führen, zu deren Erklärung die Theorie erschaffen wurde.

Wenn wir dagegen wie Einstein die Beschreibung durch die Wellenfunktion als unvollständig betrachten, verschwindet das Messproblem: Es gibt kein Messproblem bei einer Theorie oder Interpretation, in der, wie in der Bohmschen Mechanik, die Beschreibung der Situation nach der Messung neben der Wellenfunktion zumindest die Werte der Variablen umfasst, die das Ergebnis registrieren. In der Bohmschen Mechanik zeigen Zeiger immer auf etwas.

Oft wird das Messproblem ein wenig anders formuliert. Die Lehrbuch-Quantentheorie sieht zwei Regeln für die Entwicklung der Wellenfunktion eines Quantensystems vor: Eine deterministische Dynamik, die durch die Schrödingergleichung gegeben ist, wenn das System nicht „gemessen“ oder beobachtet wird, und einen zufälligen Kollaps der Wellenfunktion zu einem Eigenzustand der „gemessenen Observablen“, wenn es gemessen wird. Der Einwand lautet jedoch, dass die Lehrbuch-Quantentheorie nicht erklärt, wie diese beiden scheinbar unvereinbaren Regeln miteinander in Einklang gebracht werden können.

Dass diese Formulierung des Messproblems und die vorhergehende mehr oder weniger äquivalent sind, sollte einigermaßen klar sein: Wenn eine Wellenfunktion eine vollständige Beschreibung der Situation nach der Messung liefert, muss das Ergebnis der Messung einer Wellenfunktion entsprechen, die das tatsächliche Ergebnis beschreibt, d. h. einer „kollabierten“ Wellenfunktion. Daraus ergibt sich die Kollapsregel. Aber es ist schwierig, die Idee ernst zu nehmen, dass andere Gesetze als die, die alle anderen Wechselwirkungen regeln, die Wechselwirkungen zwischen System und Apparat regeln sollten, die wir zufällig Messungen nennen. Daher die scheinbare Unvereinbarkeit der beiden Regeln.

Die zweite Formulierung des Messproblems ist zwar im Grunde äquivalent zur ersten, wirft aber eine wichtige Frage auf: Kann die Bohmsche Mechanik selbst diese beiden dynamischen Regeln in Einklang bringen? Wie rechtfertigt die Bohmsche Mechanik die Verwendung der „kollabierten“ Wellenfunktion anstelle der ursprünglichen? Diese Frage wurde in Bohms ersten Arbeiten zur Bohmschen Mechanik beantwortet (Bohm 1952: Teil I, Abschnitt 7 und Teil II, Abschnitt 2). Das, was man heute als Dekohärenzeffekte bezeichnen würde, die durch die Wechselwirkung mit der Umgebung (Luftmoleküle, kosmische Strahlung, interne mikroskopische Freiheitsgrade usw.) hervorgerufen werden, machen es sehr schwierig, dass sich eine signifikante Überlappung zwischen der Komponente der Wellenfunktion nach der Messung, die dem tatsächlichen Ergebnis der Messung entspricht, und den anderen Komponenten der Wellenfunktion nach der Messung entwickelt (diese Überlappung bezieht sich auf den Konfigurationsraum des sehr großen Systems, der alle Systeme umfasst, mit denen das ursprüngliche System und das Gerät in Wechselwirkung treten). Ohne eine solche Überlappung jedoch generiert diese Komponente allein mit hoher Genauigkeit die zukünftige Entwicklung der Konfiguration des Systems und des Geräts. Die Ersetzung ist also aus praktischer Sicht gerechtfertigt (siehe auch Dürr, Goldstein & Zanghì 1992a: Abschnitt 5).

Viele Befürworter der orthodoxen Quantentheorie glauben, dass die Dekohärenz das eigentliche Messproblem irgendwie löst. Dieser Glaube ist nicht leicht zu verstehen. In der ersten Formulierung des Messproblems hindert uns nichts daran, alle Quellen der Dekohärenz in den Apparat einzubeziehen. Aber dann kann die Dekohärenz in keiner Weise mehr relevant für das Argument sein. Wie dem auch sei, Bohm (1952) hat eine der besten Beschreibungen der Mechanismen der Dekohärenz gegeben, obwohl er das Wort selbst nicht verwendet hat. Er erkannte die Bedeutung der Dekohärenz mehrere Jahrzehnte bevor sie in Mode kam (siehe auch den Enzyklopädie-Eintrag über die Rolle der Dekohärenz in der Quantenmechanik).

8. Der Kollaps der Wellenfunktion

Im vorigen Abschnitt haben wir angedeutet, dass der Kollaps der Wellenfunktion in der Bohmschen Mechanik als eine pragmatische Angelegenheit betrachtet werden kann, dass der Kollaps der Wellenfunktion also ein effektiver Kollaps ist. Es gibt jedoch einen Sinn, in dem der Kollaps der Wellenfunktion in der Bohmschen Mechanik mehr als nur eine Frage der Bequemlichkeit ist, einen Sinn, in dem der Kollaps tatsächlich und nicht nur effektiv ist. Wenn wir uns nämlich auf den geeigneten Begriff der Wellenfunktion konzentrieren, und zwar nicht auf das Kompositum aus System und Apparat – das streng genommen eine Superposition bleibt, wenn das Kompositum während des Messvorgangs als geschlossen betrachtet wird -, sondern auf das System selbst, stellen wir fest, dass diese Wellenfunktion in der Bohmschen Mechanik tatsächlich kollabiert, genau wie es der Quantenformalismus besagt. Das Schlüsselelement ist hier der Begriff der bedingten Wellenfunktion eines Teilsystems eines größeren Systems, den wir in diesem Abschnitt kurz beschreiben und den Dürr, Goldstein, & Zanghì 1992a: Abschnitt 5, zusammen mit dem verwandten Begriff der effektiven Wellenfunktion ausführlich diskutieren.

Eine der bestimmenden Gleichungen der Bohmschen Mechanik ist die Schrödingergleichung, die die Entwicklung der Wellenfunktion regelt. Unter den definierenden Gleichungen gibt es keine zusätzliche Evolutionsgleichung, die den Kollaps der Wellenfunktion voraussetzt. Nichtsdestotrotz ist die Kollapsregel aus dem Lehrbuch eine Folge der Bohmschen Dynamik. Um dies zu verstehen, sollte man zunächst beachten, dass ein beobachtetes System kein geschlossenes System sein kann, da Beobachtung Wechselwirkung impliziert, sondern vielmehr ein Teilsystem eines größeren geschlossenen Systems sein muss, das wir als das gesamte Universum oder ein kleineres mehr oder weniger geschlossenes System betrachten können, das das zu beobachtende System, das Teilsystem, enthält. Die Konfiguration Q dieses größeren Systems zerfällt natürlich in X, die Konfiguration des Subsystems, und Y, die Konfiguration der Umgebung des Subsystems.

Angenommen, das größere System hat die Wellenfunktion \( \Psi = \Psi(q) = \Psi(x,y) \). Nach der Bohmschen Mechanik wird das größere System dann vollständig durch \( \Psi \) beschrieben, das sich gemäß der Schrödinger-Gleichung zusammen mit X und Y entwickelt. Es stellt sich dann die Frage – und das ist eine entscheidende Frage -, was mit der Wellenfunktion des Teilsystems gemeint sein soll.

Hierfür gibt es eine ziemlich offensichtliche Antwort, eine natürliche Funktion von x, die die vorliegende objektive Struktur angemessen berücksichtigt, nämlich die bedingte Wellenfunktion

\( \psi(x) = \Psi(x,Y) \),

die man erhält, indem man die tatsächliche Konfiguration der Umgebung in die Wellenfunktion des größeren Systems einsetzt (diese Definition ist nur für skalare Wellenfunktionen geeignet; für Teilchen mit Spin wäre die Situation etwas komplizierter). Daraus folgt unmittelbar, dass die Konfiguration des Teilsystems der Führungsgleichung mit der bedingten Wellenfunktion auf ihrer rechten Seite gehorcht.

Berücksichtigt man außerdem die Abhängigkeit der bedingten Wellenfunktion von der Zeit t

\( \psi_{t}(x) = \Psi_{t}(x, Y_{t}) \),

über die Zeitabhängigkeit von Y sowie von \( \Psi \), ist es nicht schwer, die folgenden zwei Dinge über die Entwicklung der bedingten Welle zu erkennen (Dürr, Goldstein, & Zanghì 1992a): Erstens, dass sie der Schrödinger-Gleichung für das Teilsystem gehorcht, wenn dieses System in geeigneter Weise von seiner Umgebung entkoppelt ist. Mit dieser Entkopplung ist u. a. gemeint, dass \( \Psi \) eine besondere Form hat, die man als effektive Produktform bezeichnen könnte (ähnlich, aber allgemeiner als die Superposition, die bei einer „idealen Quantenmessung“ erzeugt wird), wobei die bedingte Wellenfunktion des Teilsystems auch seine effektive Wellenfunktion genannt wird. Zweitens, unter Verwendung der Quantengleichgewichtshypothese, dass es nach den üblichen quantenmechanischen Regeln zufällig kollabiert, und zwar unter genau den Bedingungen für die Wechselwirkung zwischen dem Teilsystem und seiner Umgebung, die eine ideale Quantenmessung definieren.

Es ist vielleicht erwähnenswert, dass der orthodoxen Quantentheorie die Mittel fehlen, die es ermöglichen, die bedingte Wellenfunktion zu definieren, nämlich die tatsächliche Konfiguration Y der Umgebung. In der Tat ist aus orthodoxer Sicht völlig unklar, was mit der Wellenfunktion eines Teilsystems gemeint sein soll.

9. Quantenzufälligkeit

Nach dem Quantenformalismus ist für ein System mit der Wellenfunktion ψ die Wahrscheinlichkeitsdichte dafür, dass seine Konfiguration q ist, |\(\psi(q)\)|2. In dem Maße, in dem die Messergebnisse zumindest potenziell konfigurativ registriert werden, folgt daraus, dass die Vorhersagen der Bohmschen Mechanik für die Messergebnisse mit denen der orthodoxen Quantentheorie übereinstimmen müssen (unter der Annahme, dass für beide dieselbe Schrödinger-Gleichung gilt), vorausgesetzt, dass es für die Bohmsche Mechanik irgendwie wahr ist, dass die Konfigurationen zufällig sind und die Verteilung durch die Quantengleichgewichtsverteilung |\(\psi(q)\)|2 gegeben ist. Der Status und die Rechtfertigung dieser Quantengleichgewichtshypothese ist eine ziemlich heikle Angelegenheit, die bereits sehr ausführlich untersucht wurde (Dürr, Goldstein & Zanghì 1992a). Hier sind einige wichtige Punkte.

Es ist heutzutage eine ziemlich bekannte Tatsache, dass dynamische Systeme im Allgemeinen ein Verhalten mit statistischem Charakter zeigen, wobei die Statistik durch die (oder eine) stationäre Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Dynamik gegeben ist. So ist es auch bei der Bohmschen Mechanik, nur dass für das Bohmsche System Stationarität nicht ganz das richtige Konzept ist. Vielmehr ist hier der Begriff der Äquivarianz relevant. Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung im Konfigurationsraum \(\varrho^{\psi}\), abhängig von der Wellenfunktion \(\psi\), ist äquivariant, wenn

\( (\varrho^{\psi})t = \varrho^{\psi_{t}} \),

wobei sich die Abhängigkeit von t auf der rechten Seite aus der Schrödinger-Gleichung und auf der linken Seite aus der Entwicklung der Wahrscheinlichkeitsverteilungen ergibt, die sich aus dem Fluss ergeben, den die Führungsgleichung induziert. Die Äquivarianz drückt also die gegenseitige Kompatibilität der Schrödinger-Evolution der Wellenfunktion und der Bohmschen Bewegung der Konfiguration relativ zu \(\varrho^{\psi}\) aus. Es ist eine unmittelbare Folge der Führungsgleichung und der Quantenkontinuitätsgleichung, dass \(\varrho^{\psi}\) = |\(\psi(q)\)|2 äquivariant ist. (Es kann in der Tat gezeigt werden, dass dies mehr oder weniger die einzige äquivariante Möglichkeit ist, die in geeigneter Weise lokal ist (Goldstein & Struyve 2007)).

Wenn man versucht, den Status der Quantengleichgewichtsverteilung in der Bohmschen Mechanik zu verstehen, ist es vielleicht hilfreich, sich

das Quantengleichgewicht, \( \varrho = \)|\(\psi\)|2,

als ungefähr analog zum klassischen

thermodynamischen Gleichgewicht vorzustellen, also \(\varrho\) = exp(-H/kT)/Z,

der Wahrscheinlichkeitsverteilung des Phasenraumpunkts eines Systems im Gleichgewicht bei der Temperatur T. (Z ist eine Normalisierungskonstante, die Partitionsfunktion, und k ist die Boltzmann-Konstante). Diese Analogie hat mehrere Facetten: In beiden Fällen sind die Wahrscheinlichkeitsverteilungen natürlich mit ihren jeweiligen dynamischen Systemen verbunden. Insbesondere sind diese Verteilungen stationär oder, was im Rahmen der Bohmschen Mechanik auf dasselbe hinausläuft, äquivariant. In beiden Fällen scheint es naheliegend zu sein, diese Gleichgewichtsverteilungen mit Argumenten der Konvergenz zum Gleichgewicht zu rechtfertigen (Bohm 1953; Valentini & Westman 2005). Es wurde jedoch argumentiert, dass in beiden Fällen die letztendliche Rechtfertigung für diese Wahrscheinlichkeitsverteilungen in Form von statistischen Mustern erfolgen muss, die von Ensembles tatsächlicher Subsysteme innerhalb eines typischen individuellen Universums gezeigt werden (Bell 1981b, abgedruckt 1987c: 129; Dürr, Goldstein, & Zanghì 1992a). Und in beiden Fällen bleiben der Status und die Rechtfertigung von Gleichgewichtsverteilungen umstritten (Dürr & Struyve 2020; siehe auch Goldstein 2012).

Es kann jedoch gezeigt werden (Dürr, Goldstein, & Zanghì 1992a), dass die Wahrscheinlichkeiten für Positionen, die durch die Quantengleichgewichtsverteilung gegeben sind, auf natürliche Weise aus einer Analyse des „Gleichgewichts“ für das deterministische dynamische System, das die Bohmsche Mechanik definiert, hervorgehen – in ähnlicher Weise wie die Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung aus einer Analyse des klassischen thermodynamischen Gleichgewichts hervorgeht. (Zur thermodynamischen Seite der Analogie siehe Goldstein 2001.) Mit der Bohmschen Mechanik nimmt die statistische Beschreibung in der Quantentheorie also tatsächlich, wie Einstein voraussah, „eine annähernd analoge Position zur statistischen Mechanik im Rahmen der klassischen Mechanik“ ein.

Es ist vielleicht auch erwähnenswert, dass die auf Typizität basierende Darstellung des Quantenzufalls in der Bohmschen Mechanik Everetts Darstellung (Everett 1957) des Quantenzufalls für „viele Welten“ sehr ähnlich ist, trotz der großen metaphysischen Unterschiede, die zwischen diesen beiden Versionen der Quantentheorie bestehen.

10. Quantum Observables

Die orthodoxe Quantentheorie liefert uns Wahrscheinlichkeiten nicht nur für Positionen, sondern für eine große Klasse von Quantenobservablen. Es könnte daher der Eindruck entstehen, dass es sich um eine viel reichhaltigere Theorie handelt als die Bohmsche Mechanik, die sich ausschließlich mit Positionen zu befassen scheint. Der Schein trügt jedoch. In dieser Hinsicht, wie bei so vielem anderen in den Grundlagen der Quantenmechanik, machte Bell die entscheidende Beobachtung:

In der Physik sind die einzigen Beobachtungen, die wir berücksichtigen müssen, Positionsbeobachtungen, und sei es nur die Positionen von Instrumentenzeigern. Es ist ein großes Verdienst des de Broglie-Bohm-Bildes, uns zu zwingen, diese Tatsache zu berücksichtigen. Wenn man statt Definitionen und Theoremen Axiome über die „Messung“ von etwas anderem aufstellt, dann begeht man Redundanz und riskiert Inkonsistenz. (Bell 1982, nachgedruckt 1987c: 166)

Betrachten wir zunächst die klassische Mechanik. Die Observablen sind Funktionen im Phasenraum, Funktionen der Positionen und Momente der Teilchen. Die Axiome, die das Verhalten der grundlegenden Observablen regeln – die Newtonschen Gleichungen für die Positionen oder die Hamiltonschen Gleichungen für Positionen und Momente -, definieren die Theorie. Welchen Sinn hätte es, zusätzliche Axiome für andere Observablen aufzustellen? Schließlich bestimmt das Verhalten der grundlegenden Observablen vollständig das Verhalten aller Observablen. In der klassischen Mechanik ist beispielsweise der Grundsatz der Energieerhaltung ein Theorem und kein Axiom.

In der Quantenmechanik, wie sie üblicherweise verstanden wird, mag die Situation anders aussehen. Hier gibt es keine kleine Menge grundlegender Observablen, die die Eigenschaft haben, dass alle anderen Observablen Funktionen von ihnen sind. Außerdem werden überhaupt keine Observablen ernsthaft als Beschreibungen objektiver Eigenschaften betrachtet, als Werte, die unabhängig davon, ob sie gemessen werden oder wurden, tatsächlich vorhanden sind. Wenn in der Quantenmechanik von Observablen die Rede ist, so ist dies vielmehr als Rede über die Messung der Observablen zu verstehen.

Aber wenn das so ist, unterscheidet sich die Situation in Bezug auf andere Observablen in der Quantenmechanik nicht wirklich von derjenigen in der klassischen Mechanik. Was auch immer die Quantenmechanik mit der Messung (der Werte) von Observablen meint – die, wie man uns glauben machen will, eigentlich keine Werte haben -, muss sich zumindest auf ein Experiment beziehen, bei dem eine Wechselwirkung zwischen dem „gemessenen“ System und einem „Messgerät“ stattfindet, die zu einem erkennbaren Ergebnis führt, wie es beispielsweise durch eine Zeigerausrichtung gegeben sein kann. Wenn aber einige Axiome für das Verhalten von Zeigerausrichtungen ausreichen (zumindest wenn sie beobachtet werden), dann müssen die Regeln für die Messung anderer Beobachtungsgrößen Theoreme sein, die aus diesen Axiomen folgen, und keine zusätzlichen Axiome.

Aus der Diskussion gegen Ende von Abschnitt 4 und zu Beginn von Abschnitt 9 sollte klar hervorgehen, dass unter der Annahme der Quantengleichgewichtshypothese jede Analyse der Messung einer Quantenobservablen für die orthodoxe Quantentheorie – was auch immer darunter verstanden wird und wie auch immer das entsprechende Experiment durchgeführt wird – ipso facto eine mindestens ebenso adäquate Erklärung für die Bohmsche Mechanik liefert. Der einzige Teil der orthodoxen Quantentheorie, der für die Analyse relevant ist, ist die Schrödinger-Evolution, die sie mit der Bohmschen Mechanik teilt. Der Hauptunterschied zwischen ihnen besteht darin, dass die orthodoxe Quantentheorie auf das Messproblem stößt, bevor sie zu einem befriedigenden Ergebnis kommt, während die Bohmsche Mechanik dies nicht tut. Dieser Unterschied ergibt sich natürlich aus dem, was die Bohmsche Mechanik der orthodoxen Quantentheorie hinzufügt: tatsächliche Konfigurationen.

Im weiteren Verlauf dieses Abschnitts wird die Bedeutung der Quantenobservablen für die Bohmsche Mechanik erörtert. (Aus dem, was in den drei vorangegangenen Abschnitten gesagt wurde, folgt, dass das, was wir hier über Quantenobservablen für die Bohmsche Mechanik feststellen, auch für die orthodoxe Quantentheorie gilt).

Aus der Bohmschen Mechanik ergibt sich ein natürlicher Zusammenhang zwischen Experimenten und so genannten verallgemeinerten Observablen, die durch positiv-operator-bewertete Maße (Davies 1976) oder POVMs, O(dz), auf den Werträumen für die Ergebnisse der Experimente gegeben sind (Berndl, Daumer, et al. 1995). Dieser Zusammenhang ist so beschaffen, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Ergebnisses Z eines Experiments, das an einem System mit der Wellenfunktion \(\psi\) durchgeführt wird, durch ⟨\(\psi\)|O(dz)\(\psi\)⟩ gegeben ist (wobei ⟨|⟩ das übliche innere Produkt zwischen Quantenzustandsvektoren ist).

Außerdem ergibt sich diese Schlussfolgerung unmittelbar aus der Bedeutung eines Experiments aus Bohmscher Sicht: eine Kopplung von System und Apparat, die zu einem Ergebnis Z führt, das eine Funktion der Endkonfiguration des Gesamtsystems ist, z. B. die Ausrichtung eines Zeigers. Analysiert man das Experiment in Begriffen der Bohmschen Mechanik, so definiert es eine Abbildung von der anfänglichen Wellenfunktion des Systems auf die Verteilung des Ergebnisses. Aus der Struktur der Bohmschen Mechanik und der Tatsache, dass die Quantengleichgewichtsverteilung quadratisch in der Wellenfunktion ist, folgt direkt, dass diese Abbildung bilinear ist (oder genauer gesagt sesquilinear, da ihre Abhängigkeit von einem Faktor der Wellenfunktion nicht linear, sondern antilinear ist, d. h. komplex konjugiert). Eine solche Abbildung ist gleichbedeutend mit einer POVM.

Das einfachste Beispiel für eine POVM ist eine Standard-Quantenbeobachtungsgröße, die einem selbstadjunkten Operator A auf dem Hilbert-Raum der Quantenzustände (d. h. Wellenfunktionen) entspricht. Für die Bohmsche Mechanik ist mehr oder weniger jedes „messungsähnliche“ Experiment mit dieser speziellen Art von POVM verbunden. Daraus ergibt sich das bekannte Axiom der Quantenmessung, dass die Verteilung des Ergebnisses der „Messung der Observablen A“ durch das Spektralmaß für A relativ zur Wellenfunktion gegeben ist (in den einfachsten Fällen einfach die absoluten Quadrate der so genannten Wahrscheinlichkeitsamplituden).

Aus verschiedenen Gründen wurde es nach der Entdeckung der Quantenmechanik schnell fast allgemeingültig, von einem Experiment zu sprechen, das mit einem Operator A in der soeben skizzierten Weise verbunden sei, also als Messung der Observablen A – als ob der Operator irgendwie einer Eigenschaft des Systems entspräche, die das Experiment in gewissem Sinne misst. Es wurde argumentiert, dass diese Annahme, die als naiver Realismus über Operatoren bezeichnet wurde, eine Quelle beträchtlicher Verwirrung über die Bedeutung und die Implikationen der Quantentheorie gewesen ist (Daumer et al. 1997a).

11. Spin

Der Fall des Spins veranschaulicht sehr schön die Art und Weise, wie die Bohmsche Mechanik nicht-konfigurationale Quantenobservablen behandelt, und einige der Schwierigkeiten, die der oben erwähnte naive Realismus in Bezug auf Operatoren verursacht.

Der Spin ist die kanonische Quantenbeobachtungsgröße, die kein klassisches Gegenstück hat und angeblich auf nichtquantische Weise nicht zu erfassen ist. Die Schwierigkeit besteht nicht nur darin, dass der Spin in dem Sinne quantisiert ist, dass seine zulässigen Werte eine diskrete Menge bilden (für ein Spin-1/2-Teilchen ±\(\hbar\)/2). Auch die Energie kann in diesem Sinne quantisiert sein. Auch nicht darin, dass die Komponenten des Spins in den verschiedenen Richtungen nicht kommutieren und daher nicht gleichzeitig diskutiert, gemessen oder vorgestellt werden können, oder was auch immer es ist, wovon wir bei nicht kommutierenden Observablen abraten sollten. Das Problem besteht vielmehr darin, dass es keine gewöhnliche (Nicht-Quanten-)Größe gibt, die wie die Spin-Beobachtungsgröße ein 3-Vektor ist und deren Komponenten in allen möglichen Richtungen zur selben diskreten Menge gehören. Das Problem besteht mit anderen Worten darin, dass die üblichen Vektorbeziehungen zwischen den verschiedenen Komponenten des Spin-Vektors nicht mit den Quantisierungsbedingungen für die Werte dieser Komponenten vereinbar sind.

Bei einem Teilchen mit Spin-1 ist das Problem noch gravierender. Die Komponenten des Spins in verschiedenen Richtungen sind nicht gleichzeitig messbar. Somit sind die unmöglichen Vektorbeziehungen für die Spin-Komponenten eines Quantenteilchens nicht beobachtbar. Bell (1966) und, unabhängig davon, Simon Kochen und Ernst Specker (1967) zeigten, dass für ein Spin-1-Teilchen die Quadrate der Spin-Komponenten in den verschiedenen Richtungen gemäß der Quantentheorie eine Reihe von Beziehungen erfüllen, von denen jede für sich beobachtbar ist, die aber in ihrer Gesamtheit unmöglich sind: Die Beziehungen sind unvereinbar mit der Vorstellung, dass Messungen dieser Observablen lediglich ihre bereits existierenden Werte offenbaren, anstatt sie zu erzeugen, wie die Quantentheorie uns zu glauben drängt. Viele Physiker und Philosophen der Physik sind nach wie vor der Ansicht, dass das Kochen-Specker-Theorem die Möglichkeit verborgener Variablen ausschließt.

Man könnte sich daher natürlich fragen, wie die Bohmsche Mechanik mit dem Spin zurechtkommt. Aber diese Frage haben wir bereits beantwortet. Die Bohmsche Mechanik ist sinnvoll für Teilchen mit Spin, d. h. für Teilchen, deren Wellenfunktionen spinorwertig sind. Wenn solche Teilchen in geeigneter Weise auf Stern-Gerlach-Magnete gelenkt werden, bewegen sie sich in mehr oder weniger diskrete Richtungen: 2 mögliche Richtungen für ein Spin-1/2-Teilchen mit 2 Spin-Komponenten, 3 für Spin-1 mit 3 Spin-Komponenten und so weiter. Dies ist darauf zurückzuführen, dass die Stern-Gerlach-Magnete so konstruiert und ausgerichtet sind, dass sich ein Wellenpaket (eine lokalisierte Wellenfunktion mit einigermaßen gut definierter Geschwindigkeit), das auf den Magneten gerichtet ist, aufgrund der Schrödinger-Evolution in verschiedene Pakete aufteilt, die den Spin-Komponenten der Wellenfunktion entsprechen und sich in die diskrete Menge von Richtungen bewegen. Das Teilchen selbst landet je nach seiner Ausgangsposition in einem der Pakete, die sich in eine der Richtungen bewegen.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung für das Ergebnis eines solchen Stern-Gerlach-Experiments lässt sich bequem durch die quantenmechanischen Spin-Operatoren für ein Spin-1/2-Teilchen ausdrücken, die durch bestimmte 2 x 2-Matrizen, die so genannten Pauli-Spin-Matrizen, gegeben sind – auf die oben erwähnte Weise. Aus Bohmscher Sicht gibt es dabei keinen Hinweis auf ein Paradoxon – es sei denn, wir nehmen an, dass die Spinoperatoren echten Eigenschaften der Teilchen entsprechen.

Weitere Diskussionen und detailliertere Beispiele für die Bohmsche Sichtweise des Spins finden Sie in Norsen 2014.

12. Kontextabhängigkeit

Das Kochen-Specker-Theorem, das frühere Theorem von Gleason (Gleason 1957 und Bell 1966) und andere Ergebnisse, die keine verborgenen Variablen enthalten, einschließlich der Bellschen Ungleichung (Bell 1964), zeigen, dass jede Formulierung der Quantenmechanik mit verborgenen Variablen kontextabhängig sein muss. Sie muss die Annahme der Nicht-Kontextualität verletzen, „dass die Messung einer Beobachtungsgröße denselben Wert ergeben muss, unabhängig davon, welche anderen Messungen gleichzeitig durchgeführt werden“ (1964, abgedruckt 1987c: 9). Vielen Physikern und Wissenschaftsphilosophen scheint die Kontextabhängigkeit ein zu hoher Preis für die eher bescheidenen Vorteile zu sein, die versteckte Variablen bieten – vor allem psychologische Vorteile, wie sie sagen.

Selbst viele Bohmianer sind der Meinung, dass die Kontextualität erheblich von den klassischen Prinzipien abweicht. Bohm und Hiley schreiben zum Beispiel, dass

Die Kontextabhängigkeit der Messergebnisse ist ein weiterer Hinweis darauf, dass unsere Interpretation keine einfache Rückkehr zu den Grundprinzipien der klassischen Physik bedeutet. (1993: 100)

Um die Kontextualität in der Bohmschen Mechanik zu verstehen, muss jedoch fast nichts erklärt werden. Betrachten wir einen Operator A, der mit den Operatoren B und C kommutiert (die jedoch nicht miteinander kommutieren). Was oft als „Ergebnis für A“ in einem Experiment zur „Messung von A zusammen mit B“ bezeichnet wird, stimmt normalerweise nicht mit dem „Ergebnis für A“ in einem Experiment zur „Messung von A zusammen mit C“ überein. Das liegt daran, dass diese Experimente unterschiedlich sind und verschiedene Experimente in der Regel zu unterschiedlichen Ergebnissen führen. Der irreführende Verweis auf die Messung, der suggeriert, dass ein bereits vorhandener Wert von A ermittelt würde, lässt die Kontextualität stärker erscheinen, als sie ist.

Richtig betrachtet bedeutet Kontextualität nicht viel mehr als die eher unscheinbare Beobachtung, dass die Ergebnisse von Experimenten davon abhängen, wie sie durchgeführt werden, selbst wenn die Experimente in der oben erwähnten Weise mit demselben Operator verbunden sind. David Albert (1992: 153) hat ein besonders einfaches und eindrucksvolles Beispiel für diese Abhängigkeit für Stern-Gerlach-Experimente zur „Messung“ der z-Komponente des Spins gegeben. Wenn man einen Magneten zur „Messung“ der z-Komponente des Spins umpolt und dabei die gleiche Geometrie beibehält, erhält man einen anderen Magneten zur „Messung“ der z-Komponente des Spins. Die Verwendung des einen oder des anderen dieser beiden Magnete führt oft zu entgegengesetzten Schlussfolgerungen über den „Wert der z-Komponente des Spins“ vor der „Messung“ (bei gleichem Ausgangswert der Position des Teilchens).

Wie Bell hervorhebt:

Ein letzter moralischer Aspekt betrifft die Terminologie. Warum haben so ernsthafte Menschen Axiome so ernst genommen, die heute so willkürlich erscheinen? Ich vermute, dass sie durch den verhängnisvollen Missbrauch des Wortes „Messung“ in der zeitgenössischen Theorie in die Irre geführt wurden. Dieses Wort suggeriert sehr stark die Feststellung einer bereits existierenden Eigenschaft einer Sache, wobei jedes beteiligte Instrument eine rein passive Rolle spielt. Quantenexperimente sind aber nicht so, wie wir insbesondere von Bohr gelernt haben. Die Ergebnisse müssen als gemeinsames Produkt von „System“ und „Apparat“, der gesamten Versuchsanordnung, betrachtet werden. Aber der falsche Gebrauch des Wortes „Messung“ macht es leicht, dies zu vergessen und dann zu erwarten, dass die „Ergebnisse von Messungen“ einer einfachen Logik gehorchen sollten, in der die Apparatur nicht erwähnt wird. Die daraus resultierenden Schwierigkeiten zeigen schnell, dass eine solche Logik keine gewöhnliche Logik ist. Ich habe den Eindruck, dass das ganze weite Feld der „Quantenlogik“ auf diese Weise durch den falschen Gebrauch eines Wortes entstanden ist. Ich bin davon überzeugt, dass das Wort „Messung“ inzwischen so missbraucht wurde, dass es dem Fachgebiet einen erheblichen Fortschritt bringen würde, wenn man es ganz verbieten und stattdessen zum Beispiel das Wort „Experiment“ verwenden würde. (Bell 1982, nachgedruckt 1987c: 166)

13. Nichtlokalität

Die Bohmsche Mechanik ist eindeutig nichtlokal. Die in der Führungsgleichung ausgedrückte Geschwindigkeit eines Teilchens in einem Vielteilchensystem hängt in der Regel von den Positionen der anderen, möglicherweise weit entfernten Teilchen ab, wenn die Wellenfunktion des Systems verschränkt ist, d. h. kein Produkt von Einzelteilchen-Wellenfunktionen ist. Dies gilt z. B. für die EPR-Bohm-Wellenfunktion, die ein Paar von Spin-1/2-Teilchen im Singulett-Zustand beschreibt und die Bell und viele andere untersucht haben. Die Bohmsche Mechanik verdeutlicht somit das dramatischste Merkmal der Quantentheorie: die Quanten-Nichtlokalität, die in Abschnitt 2 behandelt wird.

Es sollte betont werden, dass sich die Nichtlokalität der Bohmschen Mechanik ausschließlich aus der in Abschnitt 2 erörterten Nichtlokalität ableitet, die in die Struktur der Standard-Quantentheorie eingebaut ist. Diese Nichtlokalität hat ihren Ursprung in einer Wellenfunktion im Konfigurationsraum, einer Abstraktion, die, grob gesagt, entfernte Teilchen zu einer einzigen irreduziblen Realität zusammenfasst – oder bindet. Wie Bell betonte:

Dass sich die Leitwelle im allgemeinen Fall nicht im gewöhnlichen dreidimensionalen Raum, sondern in einem mehrdimensionalen Konfigurationsraum ausbreitet, ist der Ursprung der berüchtigten „Nichtlokalität“ der Quantenmechanik. Es ist ein Verdienst der de Broglie-Bohm-Version, dies so explizit herauszustellen, dass es nicht ignoriert werden kann. (Bell 1980, nachgedruckt 1987c: 115)

Die nichtlokale Geschwindigkeitsbeziehung in der Führungsgleichung ist also nur ein Aspekt der Nichtlokalität der Bohmschen Mechanik. Es gibt auch die Nichtlokalität oder Nichttrennbarkeit, die in der Wellenfunktion selbst impliziert ist, die auch ohne die Struktur – tatsächliche Konfigurationen – vorhanden ist, die die Bohmsche Mechanik der orthodoxen Quantentheorie hinzufügt. Wie Bell anhand der Verbindung zwischen der Wellenfunktion und den Vorhersagen der Quantentheorie über experimentelle Ergebnisse gezeigt hat, ist die Beseitigung dieser Nichtlokalität, wenn überhaupt möglich, äußerst schwierig (siehe Abschnitt 2).

Die Nichtlokalität der Bohmschen Mechanik lässt sich in all ihren Aspekten vielleicht am besten verstehen, wenn man sich auf die bedingte Wellenfunktion konzentriert. Nehmen wir zum Beispiel an, dass in einem EPR-Bohm-Experiment Teilchen 1 seinen Stern-Gerlach-Magneten durchläuft, bevor Teilchen 2 an seinem Magneten ankommt. Dann wird die Ausrichtung des Stern-Gerlach-Magneten für Teilchen 1 die bedingte Wellenfunktion von Teilchen 2 erheblich beeinflussen: Wenn der Stern-Gerlach-Magnet für Teilchen 1 so ausgerichtet ist, dass er „die z-Komponente des Spins misst“, dann wird die bedingte Wellenfunktion von Teilchen 2, nachdem Teilchen 1 seinen Magneten durchlaufen hat, ein Eigenvektor (oder Eigenzustand) der z-Komponente des Spins sein (und zwar zu dem Eigenwert gehören, der das Negativ des für Teilchen 1 „gemessenen“ Eigenwerts ist), und das Gleiche gilt für jede andere Komponente des Spins. Man kann die Art des Spin-Eigenzustands von Teilchen 2 diktieren, indem man die Ausrichtung eines beliebig weit entfernten Magneten entsprechend wählt. Was das künftige Verhalten von Teilchen 2 angeht, insbesondere wie sein Magnet es beeinflusst, so hängt dies natürlich sehr stark vom Charakter seiner bedingten Wellenfunktion ab; daher beeinflusst die Wahl der Ausrichtung des entfernten Magneten dieses Verhalten stark.

Dieser nichtlokale Effekt auf die bedingte Wellenfunktion von Teilchen 2 ergibt sich aus der Kombination der Standardanalyse der Entwicklung der Wellenfunktion im EPR-Bohm-Experiment mit der Definition der bedingten Wellenfunktion (der Einfachheit halber ignorieren wir die Permutationssymmetrie.) Bevor die EPR-Bohm-Wellenfunktion irgendwelche Magneten erreicht, ist sie eine Summe aus zwei Termen, die nicht verschwindenden Werten für zwei der vier möglichen gemeinsamen Spin-Komponenten der beiden Teilchen entsprechen. Jeder Term ist ein Produkt eines Eigenzustands für eine Spin-Komponente in einer bestimmten Richtung für Teilchen 1 mit dem entgegengesetzten Eigenzustand (d. h., er gehört zu dem Eigenwert, der das Negativ des Eigenwerts für Teilchen 1 ist) für die Spin-Komponente in derselben Richtung für Teilchen 2. Darüber hinaus hat die EPR-Bohm-Wellenfunktion aufgrund ihrer Rotationssymmetrie die Eigenschaft, dass jede Spin-Komponente, d. h. jede Richtung, in dieser Zerlegung verwendet werden kann (diese Eigenschaft ist sehr interessant.)

Zerlegt man die EPR-Bohm-Wellenfunktion unter Verwendung der Komponente des Spins in der Richtung, die mit dem Magneten für Teilchen 1 assoziiert ist, lässt sich die Entwicklung der Wellenfunktion, wenn Teilchen 1 seinen Magneten passiert, leicht nachvollziehen: Die Entwicklung der Summe wird (unter Verwendung der Linearität der Schrödingergleichung) durch die ihrer einzelnen Terme bestimmt, und die Entwicklung jedes Terms durch die jedes seiner Faktoren. Die Entwicklung des Teilchen-1-Faktors führt zu einer Verschiebung entlang der magnetischen Achse in der Richtung, die durch das (Vorzeichen der) Spin-Komponente (d. h. den Eigenwert) bestimmt wird, wie im vierten Absatz von Abschnitt 11 beschrieben. Sobald diese Verschiebung stattgefunden hat (und groß genug ist), wird die bedingte Wellenfunktion für Teilchen 2 dem Term in der Summe entsprechen, der durch die tatsächliche Position von Teilchen 1 ausgewählt wurde. Insbesondere wird es ein Eigenzustand der Komponente des Spins sein, der vom Magneten für Teilchen 1 „gemessen“ wird. (Für eine explizitere und detailliertere Diskussion siehe Norsen 2014).

Die Nichtlokalität der Bohmschen Mechanik hat eine bemerkenswerte Eigenschaft: Sie wird durch das Quantengleichgewicht abgeschirmt. Es ist eine Folge der Quantengleichgewichtshypothese, dass die nichtlokalen Effekte in der Bohmschen Mechanik keine beobachtbaren und kontrollierbaren Folgen haben – wir können sie nicht verwenden, um sofortige Nachrichten zu senden. Dies ergibt sich aus der Tatsache, dass die beobachtbaren Konsequenzen der Bohmschen Mechanik angesichts der Quantengleichgewichtshypothese die gleichen sind wie die der orthodoxen Quantentheorie, für die eine sofortige Kommunikation auf der Grundlage der Quanten-Nichtlokalität unmöglich ist (siehe Eberhard 1978). Valentini (1991) unterstreicht die Bedeutung des Quantengleichgewichts für die Verschleierung der Nichtlokalität der Bohmschen Mechanik. (Valentini [2010a] hat auch die Möglichkeit vorgeschlagen, nach Quanten-Nicht-Gleichgewichten zu suchen und diese zu nutzen. Im Gegensatz zum thermodynamischen Nicht-Gleichgewicht haben wir jedoch derzeit keine Vorstellung davon, wie das Quanten-Nicht-Gleichgewicht, sollte es existieren, aussehen würde, trotz gegenteiliger Behauptungen und Argumente).

14. Lorentz-Unveränderlichkeit

Wie die nichtrelativistische Quantentheorie, von der sie eine Variante ist, ist die Bohmsche Mechanik nicht mit der speziellen Relativitätstheorie, einem zentralen Prinzip der Physik, vereinbar: Die Bohmsche Mechanik ist nicht Lorentz-invariant. Sie kann auch nicht ohne weiteres modifiziert werden, um die Lorentz-Invarianz zu berücksichtigen. Die Konfigurationen, die durch die gleichzeitigen Positionen aller Teilchen definiert sind, spielen in ihrer Formulierung eine zu entscheidende Rolle, wobei die Leitgleichung eine Entwicklung im Konfigurationsraum definiert. (Lorentz-invariante Erweiterungen der Bohmschen Mechanik für ein einzelnes Teilchen, beschrieben durch die Dirac-Gleichung (Bohm & Hiley 1993; Dürr et al. 1999) oder die Klein-Gordon-Gleichung (Berndl et al. 1996; Nikolic 2005), können leicht erreicht werden, obwohl es für ein Klein-Gordon-Teilchen einige interessante Feinheiten gibt, die einem Teilchen entsprechen, das sich scheinbar rückwärts in der Zeit bewegt).

Diese Schwierigkeit mit der Lorentz-Invarianz und die Nichtlokalität in der Bohmschen Mechanik sind eng miteinander verbunden. Da die Quantentheorie selbst, allein aufgrund des Charakters ihrer Vorhersagen bezüglich der EPR-Bohm-Korrelationen, irreduzibel nichtlokal ist (siehe Abschnitt 2), könnte man erhebliche Schwierigkeiten mit der Lorentz-Invarianz der orthodoxen Quantentheorie erwarten, ebenso wie mit der Bohmschen Mechanik. Die Kollapsregel der Lehrbuch-Quantentheorie verstößt zum Beispiel eklatant gegen die Lorentz-Invarianz. Tatsächlich stellt die der Quantentheorie innewohnende Nichtlokalität formidable Schwierigkeiten für die Entwicklung einer (Vielteilchen-) Lorentz-Invarianz-Formulierung dar, die die Unschärfe der orthodoxen Quantentheorie vermeidet (siehe Maudlin 1994).

Bell gab eine etwas überraschende Einschätzung der Bedeutung des Problems der Lorentz-Invarianz ab. In einem Interview mit der Philosophin Renée Weber, das er kurz vor seinem Tod führte, verwies er auf die Paradoxien der Quantenmechanik und stellte fest, dass

Diese Paradoxa […] einfach durch die Theorie von Bohm aus dem Jahr 1952 beseitigt [werden], wobei die Frage der Lorentz-Invarianz übrig bleibt. Eine meiner Lebensaufgaben besteht also darin, den Leuten klarzumachen, dass sie, wenn sie über die Probleme der Quantenmechanik – die wirklichen Probleme der Quantenmechanik – sprechen wollen, über die Lorentz-Invarianz sprechen müssen. (Interview mit John Bell, in Weber 1989 [Andere Internetquellen])

Die am weitesten verbreitete Ansicht zu diesem Thema ist, dass eine detaillierte Beschreibung mikroskopischer Quantenprozesse, wie sie eine mutmaßliche Erweiterung der Bohmschen Mechanik auf den relativistischen Bereich liefern würde, die Lorentz-Invarianz verletzen muss. Nach dieser Auffassung wäre die Lorentz-Invarianz in einer solchen Theorie eine emergente Symmetrie, die von unseren Beobachtungen befolgt wird – für die Bohmsche Mechanik eine statistische Konsequenz des Quantengleichgewichts, das die Ergebnisse von Quantenexperimenten bestimmt. Dies ist die Meinung von Bohm und Hiley (1993), von Holland (1993) und von Valentini (1997).

Im Gegensatz zur Nichtlokalität ist die Verletzung der Lorentz-Invarianz jedoch nicht unvermeidlich. Es sollte möglich sein, eine vollständig Lorentz-invariante Theorie zu konstruieren, die eine detaillierte Beschreibung der mikroskopischen Quantenprozesse liefert. Eine Möglichkeit dazu ist die Verwendung einer zusätzlichen Lorentz-invarianten dynamischen Struktur, z. B. eines geeigneten zeitähnlichen 4-Vektorfeldes, das die Definition einer Foliation der Raumzeit in raumähnliche Hypersurfaces erlaubt, die einen Lorentz-invarianten Begriff der „sich entwickelnden Konfiguration“ liefern und entlang derer nichtlokale Effekte übertragen werden. Siehe Dürr et al. 1999 für ein Spielzeugmodell. Eine andere Möglichkeit besteht darin, dass eine vollständig Lorentz-invariante Darstellung der Quanten-Nichtlokalität ohne zusätzliche Struktur erreicht werden kann, indem nur das genutzt wird, was bereits vorhanden ist, zum Beispiel die Wellenfunktion des Universums oder die Lichtkegelstruktur. Zur letzteren Möglichkeit siehe das Modell von Goldstein und Tumulka (2003), in dem sie Relativität und Nichtlokalität durch das Zusammenspiel entgegengesetzter Zeitpfeile miteinander in Einklang bringen. Für eine Diskussion der ersten Möglichkeit siehe Dürr et al. 2014. In der dort diskutierten Art von Theorie liefert die Wellenfunktion des Universums eine kovariante Vorschrift für die gewünschte Foliation. Eine solche Theorie wäre eindeutig Lorentz-invariant. Aber es ist nicht so klar, dass sie als relativistisch angesehen werden sollte.

Wie dem auch sei, die Lorentz-invariante Nichtlokalität bleibt etwas rätselhaft. Die Probleme sind äußerst subtil. Zum Beispiel fände Bell es zurecht

beunruhigend … die Unmöglichkeit von „Botschaften“, die schneller als das Licht sind, was aus der gewöhnlichen relativistischen Quantenmechanik folgt, insofern sie eindeutig und angemessen für Vorgänge ist, die wir [Hervorhebung hinzugefügt] tatsächlich durchführen können. Die genaue Klärung von Begriffen wie „Nachricht“ und „wir“ wäre eine gewaltige Herausforderung. (1981a, nachgedruckt 1987c: 155)

Auch wenn das Quantengleichgewicht und die damit verbundene absolute Ungewissheit (Dürr, Goldstein, & Zanghì 1992a) hier eine gewisse Hilfe sein könnten, bleibt die Situation rätselhaft.

15. Identische Teilchen

Gleichartige Elementarteilchen, z. B. Elektronen, werden in der Quantenmechanik so behandelt, als ob sie irgendwie identisch oder ununterscheidbar wären. Diese Behandlung spiegelt sich in den Symmetrieeigenschaften der Wellenfunktion eines Vielteilchensystems bei Permutationen der Koordinaten dieser Teilchen wider. Für Elektronen und andere Fermionen muss die Wellenfunktion ihr Vorzeichen ändern, wenn die Koordinaten eines Teilchenpaares ausgetauscht werden; sie muss antisymmetrisch sein. Für Photonen und andere Bosonen muss sie symmetrisch sein und darf sich nicht ändern.

Begründet wird dies in der Regel damit, dass die einzige Möglichkeit, die einzelnen Teilchen zu verfolgen und damit ihre Individualität zu bewahren, darin bestünde, ihre Bahnen zu verfolgen, was man natürlich nicht tun kann und darf, und was es in der Standard-Quantenmechanik ohnehin nicht gibt. (Wie so viele Argumente, die zur Rechtfertigung verschiedener Behauptungen in der Quantenmechanik verwendet werden, ist diese Art von Argument mit seiner positivistischen Ausrichtung eher schwach. Seine Schlussfolgerung ist jedoch ziemlich solide.) Auf dieser Grundlage wird oft behauptet, dass die Bohmsche Mechanik nicht in der Lage sei, mit identischen Teilchen umzugehen, weil ihre Teilchen (noch dazu deterministische) Trajektorien haben.

Es ist jedoch überhaupt kein Problem, Bosonen und Fermionen in die Bohmsche Mechanik einzubeziehen. Man setzt einfach voraus, dass die Wellenfunktion in der Bohmschen Mechanik dieselben Symmetrieeigenschaften bei Permutationen hat wie in der Standard-Quantenmechanik. Noch einmal: In der Bohmschen Mechanik ändert man weder die Wellenfunktion noch ihre Evolutionsgleichung; man fügt ihr lediglich die tatsächliche Konfiguration der Teilchen und ihre Führungsgleichung hinzu.

Wenn man die Konfiguration in der Bohmschen Mechanik ernst nimmt, kommt man vielleicht sogar auf noch natürlichere Weise als in der Standard-Quantenmechanik zur Klassifizierung der fundamentalen Quantenteilchen als Bosonen und Fermionen mit Wellenfunktionen der entsprechenden Symmetrien. Das liegt daran, dass der natürliche Konfigurationsraum für ein System von N
Teilchen, z. B. Elektronen, die durch dieselben dynamischen Parameter wie die Ladung beschrieben werden, aus N-Punkt-Teilmengen des physikalischen Raums besteht und nicht aus N-Tupeln von Punkten im physikalischen Raum. Mit anderen Worten: Es ist ganz natürlich, die Bezeichnungen, die wir den Teilchen zuweisen, als unphysikalische Bequemlichkeit zu betrachten und auf der fundamentalen Ebene eher unbenannte Konfigurationen als benannte zu verwenden. Die Wellenfunktionen in diesem natürlichen Konfigurationsraum sind trivialerweise symmetrisch.

Außerdem hat der natürliche Konfigurationsraum eine nicht-triviale Topologie. Wenn dies berücksichtigt wird, ergibt sich natürlich die Möglichkeit von antisymmetrischen Wellenfunktionen, von Fermionen. (Dürr et al. 2006, in Anlehnung an Nelson 1985 für die stochastische Mechanik. Für eine ähnliche frühe Analyse, die eher traditionell quantenmechanisch ist, siehe Leinaas und Myrheim 1977).

16. Quantenbewegung im Formraum

Ein natürlicher Gedanke, der manchmal geäußert wird, ist, dass die Bohmsche Mechanik, für die Teilchen mit genau definierten Positionen im Raum eine zentrale Rolle spielen, nicht ohne weiteres einen relationalen Rahmen, wie er vor allem von Julian Barbour (1999) vertreten wird, aufnehmen kann. In einem solchen Rahmen ist der Ort im Raum kein grundlegender physikalischer Begriff. Physikalisch sind vielmehr Formen, die durch Anordnungen von Teilchen gebildet werden; Formen, die durch relative Positionen bestimmt sind.

Die Bohmsche Mechanik kann natürlich auf einen relationalen Rahmen ausgedehnt werden, der auch zu einem relationalen Begriff der Zeit führt. Innerhalb dieses Rahmens erscheinen die vertrauten Beschreibungen von absolutem Raum und absoluter Zeit lediglich als eine Entsprechung der Wahl der Lehre (Dürr et al. 2020a). Eine Bohmsche Perspektive ist also kein Rückfall in überholte Formen der Physik, sondern legt die Möglichkeit nahe, dass vieles von dem, was wir in der Physik als grundlegend betrachten, in Wirklichkeit von uns selbst durch die Wahl unserer Eichung auferlegt werden könnte.

17. Einwände und Antworten

Die Bohmsche Mechanik ist von der breiten Masse der Physiker nie akzeptiert worden. Da sie nicht Teil des Standard-Lehrplans für Physik ist, sind viele Physiker – wahrscheinlich die Mehrheit – einfach nicht mit der Theorie und ihrer Funktionsweise vertraut. Manchmal wird die Theorie abgelehnt, ohne dass die Gründe für die Ablehnung ausdrücklich genannt werden. Es gibt auch Einwände, die auf einfachen Missverständnissen beruhen; dazu gehört die Behauptung, dass einige unumstößliche Theoreme wie das von-Neumann-Theorem, das Kochen-Specker-Theorem oder das Bellsche Theorem zeigen, dass die Theorie nicht funktionieren kann. Auf solche Einwände soll hier nicht eingegangen werden, da die Antwort darauf für diejenigen, die die Theorie verstehen, offensichtlich ist. Im Folgenden wird nur auf Einwände eingegangen, die nicht auf elementaren Missverständnissen beruhen.

Ein häufiger Einwand lautet, die Bohmsche Mechanik sei zu kompliziert oder unelegant. Um diesen Einwand zu bewerten, muss man die Axiome der Bohmschen Mechanik mit denen der Standard-Quantenmechanik vergleichen. Die Bohmsche Mechanik fügt der Schrödingergleichung die Leitgleichung hinzu; die Standard-Quantenmechanik erfordert stattdessen Postulate über experimentelle Ergebnisse, die nur durch eine Unterscheidung zwischen einem Quantensystem und dem Versuchsgerät formuliert werden können. Und, wie Hilary Putnam feststellte,

[habe ich] In Putnam ([1965]) […] Bohms Interpretation aus mehreren Gründen abgelehnt, die mir nicht mehr stichhaltig erscheinen. Selbst heute noch, wenn Sie sich die Wikipedia-Enzyklopädie im Internet ansehen, werden Sie feststellen, dass Bohms Theorie mathematisch unelegant ist. Glücklicherweise habe ich diesen Grund in Putnam ([1965]) nicht angeführt, aber er ist auf jeden Fall nicht wahr. Die Formel für das Geschwindigkeitsfeld ist äußerst einfach: In der Theorie gibt es ohnehin den Wahrscheinlichkeitsstrom, und man nimmt an, dass der Geschwindigkeitsvektor proportional zum Strom ist. Daran ist nichts besonders Unelegantes, im Gegenteil, es ist bemerkenswert elegant! (2005: 262)

Ein häufiger Einwand lautet, dass die Bohmsche Mechanik, da sie genau die gleichen Vorhersagen macht wie die Standard-Quantenmechanik (sofern die Vorhersagen der Standard-Quantenmechanik eindeutig sind), keine eigenständige Theorie ist, sondern lediglich eine Neuformulierung der Standard-Quantentheorie. In diesem Sinne schrieb Heisenberg:

Bohms Interpretation kann nicht durch Experimente widerlegt werden, und das gilt für alle Gegenvorschläge der ersten Gruppe. Vom grundsätzlich „positivistischen“ (vielleicht sollte man besser sagen „rein physikalischen“) Standpunkt aus betrachtet, geht es also nicht um Gegenvorschläge zur Kopenhagener Deutung, sondern um deren exakte Wiederholung in einer anderen Sprache. (Heisenberg 1955: 18)

In jüngerer Zeit hat Sir Anthony Leggett diesen Vorwurf aufgegriffen. Unter Bezugnahme auf das Messproblem sagt er, dass die Bohmsche Mechanik „kaum mehr als eine verbale Verschleierung des grundlegenden Paradoxons“ darstellt (Leggett 2005: 871). Und im Zusammenhang mit dem Doppelspaltexperiment schreibt er:

Aus [der Annahme definitiver Teilchenbahnen] werden keine anderen experimentellen Konsequenzen gezogen als die Standardvorhersagen des QM-Formalismus, so dass es zweifellos eine Frage des persönlichen Geschmacks ist, ob man es als eine substanzielle Auflösung des scheinbaren Paradoxons oder als wenig mehr als eine Neuformulierung desselben betrachtet (der vorliegende Autor neigt zur letzteren Sichtweise). (Leggett 2002: R419)

Die Bohmsche Mechanik und die Standard-Quantenmechanik liefern nun eindeutig unterschiedliche Beschreibungen dessen, was auf der mikroskopischen Quantenebene geschieht. Nur mit einer rein instrumentellen Einstellung zu wissenschaftlichen Theorien können die Bohmsche Mechanik und die Standard-Quantenmechanik als unterschiedliche Formulierungen ein und derselben Theorie betrachtet werden. Aber selbst wenn dem so wäre, warum sollte dies ein Einwand gegen die Bohmsche Mechanik sein? Selbst wenn dies der Fall wäre, sollten wir uns immer noch fragen, welche der beiden Formulierungen die bessere ist. Diejenigen, die von dem Einwand „keine unterschiedliche Theorie“ beeindruckt sind, messen der Tatsache, dass die Standard-Quantenmechanik zuerst entwickelt wurde, vermutlich großes Gewicht bei. Befürworter der Bohmschen Mechanik geben ihrer größeren Einfachheit und Klarheit mehr Gewicht.

Die Position von Leggett ist jedoch sehr schwer zu verstehen. Für einen Physiker mit einem rein instrumentalistischen Verständnis der Quantenmechanik sollte es kein Messproblem geben. Aber seit mehr als dreißig Jahren argumentiert Leggett mit Nachdruck, dass die Quantenmechanik tatsächlich unter dem Messproblem leidet. Für Leggett ist das Problem so gravierend, dass er vorschlägt, dass die Quantenmechanik auf makroskopischer Ebene versagen könnte. Leggett ist also kein Instrumentalist, und es ist schwer zu verstehen, warum er eine Theorie wie die Bohmsche Mechanik, die offensichtlich nicht unter dem Messproblem leidet, mit dem er sich so lange beschäftigt hat, so leichtfertig abtut.

Auch Sir Roger Penrose scheint Zweifel daran zu haben, dass die Bohmsche Mechanik das Messproblem tatsächlich löst. Er schreibt, dass

mir [scheint], dass tatsächlich ein Maß für die Skala erforderlich ist, um zu definieren, wann klassisches Verhalten an die Stelle der kleinräumigen Quantenaktivität zu treten beginnt. Wie die anderen Quantenontologien, bei denen keine messbaren Abweichungen von der Standard-Quantenmechanik erwartet werden, verfügt die Sichtweise (e) [Bohmsche Mechanik] nicht über ein solches Skalenmaß, so dass ich nicht sehe, dass sie das Paradoxon von Schrödingers Katze adäquat angehen kann. (2005: 811)

Aber im Gegensatz zu dem, was er schreibt, scheint sein eigentliches Anliegen das Auftreten von klassischem Verhalten zu sein und nicht das Messproblem an sich. In diesem Zusammenhang stellen wir fest, dass die Bohmsche Entwicklung von Teilchen, die immer von der Wellenfunktion bestimmt wird und grundsätzlich quantenmechanisch ist, sich als annähernd klassisch erweist, wenn die relevante de Broglie-Wellenlänge, die zum Teil durch die Wellenfunktion bestimmt wird, viel kleiner ist als die Skala, auf der der Term der potentiellen Energie in der Schrödinger-Gleichung variiert (siehe Allori et al., 2002). Unter normalen Umständen wird diese Bedingung für die Bewegung des Massenschwerpunkts eines makroskopischen Objekts erfüllt sein.

Es ist vielleicht erwähnenswert, dass es trotz der empirischen Äquivalenz zwischen der Bohmschen Mechanik und der orthodoxen Quantentheorie eine Reihe von Experimenten und experimentellen Problemen gibt, die nicht bequem in den Standard-Quantenformalismus passen, aber von der Bohmschen Mechanik leicht behandelt werden können. Dazu gehören Verweil- und Tunnelzeiten (Leavens 1996), Fluchtzeiten und Fluchtpositionen (Daumer et al. 1997b), Streutheorie (Dürr et al., 2000) und Quantenchaos (Cushing 1994; Dürr, Goldstein, & Zanghì 1992b). Darüber hinaus haben sich die zusätzlichen Ressourcen der Bohmschen Mechanik, insbesondere der Begriff der in Abschnitt 8 definierten bedingten Wellenfunktion, als nützlich für die Entwicklung von Näherungsschemata für praktische Quantenanwendungen erwiesen (Oriols & Mompart 2012, Struyve 2020).

Besonders problematisch aus orthodoxer Sicht ist die Quantenkosmologie, bei der das relevante Quantensystem das gesamte Universum ist und es daher keinen Beobachter außerhalb des Systems gibt, der den Kollaps der Wellenfunktion bei der Messung verursacht. In diesem Zusammenhang haben Bohmsche Modelle die Frage nach der Unvermeidbarkeit von Singularitäten in Theorien der Quantengravitation geklärt (Falciano, Pinto-Neto & Struyve 2015). Für eine Diskussion darüber, wie eine Bohmsche Perspektive einige konzeptionelle Schwierigkeiten der Quantengravitation beseitigen kann, wie das Problem der Zeit und das Problem des Fehlens ausreichend vieler diffeomorphismusinvarianter Observablen, siehe Goldstein & Teufel 2001.

Eine weitere Behauptung, die in den letzten Jahren populär geworden ist, lautet, dass die Bohmsche Mechanik eine verkappte Everettsche oder „Viele-Welten“-Interpretation ist (siehe den Eintrag über die Viele-Welten-Interpretation der Quantenmechanik für einen Überblick über derartige Interpretationen). Die Idee ist, dass Bohmianer, wie Everettianer, die Wellenfunktion als physikalisch real ansehen müssen. Da die Bohmsche Mechanik keinen Kollaps der Wellenfunktion (für die Wellenfunktion des Universums) vorsieht, bleiben alle Zweige der Wellenfunktion bestehen und nicht nur derjenige, der zufällig von der aktuellen Teilchenkonfiguration belegt wird. Diese Zweige werden von den Everettianern als Parallelwelten angesehen. David Deutsch drückt die Ladung so aus:

Die „unbesetzten Rillen“ müssen physikalisch real sein. Außerdem gehorchen sie denselben physikalischen Gesetzen wie die „besetzte Rille“, die angeblich „das“ Universum ist. Aber das ist nur eine andere Art zu sagen, dass auch sie Universen sind. … Kurz gesagt, die Pilotwellentheorien sind Paralleluniversen-Theorien in einem Zustand chronischer Verleugnung. (Deutsch 1996: 225)

Siehe Brown und Wallace (2005) für eine erweiterte Version dieses Arguments. Es überrascht nicht, dass die Bohmianer nicht damit einverstanden sind, dass die Zweige der Wellenfunktion als Repräsentanten von Welten aufgefasst werden sollten. Für eine Bohmsche Antwort siehe Maudlin (2010). Weitere Bohmsche Antworten wurden von Lewis (2007) und Valentini (2010b) gegeben.

Die Behauptung von Deutsch, Brown und Wallace hat einen neuartigen Charakter, den wir vielleicht erst einmal in Ruhe prüfen sollten. Einerseits sollte die Behauptung für jeden, der wie Wallace die Lebensfähigkeit eines funktionalistischen Viele-Welten-Verständnisses der Quantenmechanik akzeptiert – und insbesondere akzeptiert, dass aus der Funktions- und Strukturanalyse folgt, dass, wenn die Wellenfunktion geeignete komplexe Muster entwickelt, diese ipso facto das beschreiben, was wir als Welten betrachten sollten – überzeugend sein. Andererseits sollte die Behauptung für diejenigen, die die funktionale Analyse ablehnen und viele Welten als ontologisch inadäquat betrachten (siehe Maudlin 2010), oder die, wie Vaidman (siehe den SEP-Eintrag über die Viele-Welten-Interpretation der Quantenmechanik), viele Welten aus nicht-funktionalistischen Gründen akzeptieren, leer erscheinen. Mit anderen Worten, man muss im Grunde bereits eine starke Version der „Vielen Welten“ akzeptiert und Bohm abgelehnt haben, um die Kraft der Behauptung zu spüren.

Ein weiterer interessanter Aspekt der Behauptung ist dieser: Es scheint, dass man zumindest als logische Möglichkeit eine Welt in Betracht ziehen könnte, die aus Teilchen besteht, die sich gemäß einigen wohldefinierten Bewegungsgleichungen bewegen, und insbesondere gemäß den Gleichungen der Bohmschen Mechanik. Es scheint völlig unplausibel, dass es dabei ein logisches Problem geben sollte. Wir sollten äußerst skeptisch gegenüber jedem Argument sein, das wie die Behauptung von Deutsch, Brown und Wallace darauf hindeutet, dass es ein solches gäbe. Was also Deutsch, Brown und Wallace zur Verteidigung der vielen Welten als Einwand gegen die Bohmsche Mechanik vorbringen, sollte vielleicht eher als Einwand gegen die vielen Welten selbst betrachtet werden.

Es gibt ein auffälliges Merkmal der Bohmschen Mechanik, das oft als Einwand vorgebracht wird: In der Bohmschen Mechanik wirkt die Wellenfunktion auf die Positionen der Teilchen, aber da sie sich über die Schrödinger-Gleichung autonom entwickelt, wird sie nicht von den Teilchen beeinflusst. Dies wird von einigen Bohmianern nicht als verwerfliches Merkmal der Theorie betrachtet, sondern als wichtiger Hinweis auf die Bedeutung der quantenmechanischen Wellenfunktion. Dürr, Goldstein & Zanghì (1997) und Goldstein & Teufel (2001) erörtern diesen Punkt und schlagen vor, dass die Wellenfunktion aus einer tieferen Perspektive, als sie die Bohmsche Mechanik oder die Quantentheorie bieten, als nomologisch betrachtet werden sollte, als ein Objekt, mit dem sich die Bewegungsgesetze in ähnlicher Weise ausdrücken lassen wie mit der Hamiltonschen Funktion in der klassischen Mechanik, und dass eine zeitabhängige Gleichung vom Typ Schrödinger aus dieser tieferen (kosmologischen) Perspektive lediglich phänomenologisch ist.

Die Bohmsche Mechanik berücksichtigt nicht die für die Quantenfeldtheorie charakteristischen Phänomene wie die Erzeugung und Vernichtung von Teilchen. Dies ist kein Einwand gegen die Bohmsche Mechanik, sondern lediglich die Erkenntnis, dass die Quantenfeldtheorie viel mehr erklärt als die nichtrelativistische Quantenmechanik, sei es in orthodoxer oder Bohmscher Form. Dies unterstreicht jedoch die Notwendigkeit, eine adäquate, wenn auch nicht zwingende, Bohmsche Version der Quantenfeldtheorie und insbesondere der Eichtheorien zu finden. Einige eher zaghafte Schritte in diese Richtung finden sich in Bohm & Hiley 1993, Holland 1993, Bell 1987b), und in einigen Artikeln in Cushing, Fine, & Goldstein 1996.

Eine entscheidende Frage ist, ob es in einer Quantenfeldtheorie grundsätzlich um Felder oder Teilchen geht – oder um etwas ganz anderes. Während die gängigste Wahl Felder sind (siehe Struyve 2010 für eine Bewertung einer Vielzahl von Möglichkeiten), sind es bei Bell Teilchen. Sein Vorschlag ist in der Tat die Grundlage einer kanonischen Erweiterung der Bohmschen Mechanik auf allgemeine Quantenfeldtheorien, und diese „Quantenfeldtheorien vom Bell-Typ“ (Dürr et al. 2004 und 2005) beschreiben eine stochastische Entwicklung von Teilchen, die die Erzeugung und Vernichtung von Teilchen beinhaltet. (Eine allgemeine Diskussion dieses Themas und des Sinns und Werts der Bohmschen Mechanik finden Sie im Briefwechsel zwischen Goldstein und Weinberg, den Sie über den Link im Abschnitt „Andere Internetquellen“ unten aufrufen können).

Inspiriert von der Struktur der Quantenfeldtheorien des Bell-Typs hat Tumulka einen neuen Ansatz für das Problem der ultravioletten Divergenzen der Quantenfeldtheorie entwickelt, der auf so genannten inneren Randbedingungen beruht. (Siehe D. Dürr et al. 2020b und die dortigen Verweise).

Für eine kurze Einführung in die Bohmsche Mechanik siehe Tumulka 2021. Längere zugängliche Darstellungen finden sich in Bricmont 2016, Norsen 2017, Bricmont 2018 und Maudlin 2019.

Bibliografie

·  Albert, David Z., 1992, Quantum Mechanics and Experience, Cambridge, MA: Harvard University Press.

·  Allori, Valia, 2015, “Primitive Ontology in a Nutshell”, International Journal of Quantum Foundations, 1(3): 107–122.

·  Allori, Valia, Detlef Dürr, Sheldon Goldstein, and Nino Zanghì, 2002, “Seven Steps Towards the Classical World”, Journal of Optics B, 4(4): 482–488. doi:10.1088/1464-4266/4/4/344 [Allori et al. 2002 preprint available online]

·  Allori, Valia, Sheldon Goldstein, Roderich Tumulka, and Nino Zanghì, 2008, “On the Common Structure of Bohmian Mechanics and the Ghirardi-Rimini-Weber Theory”, British Journal for the Philosophy of Science, 59: 353–389. doi:10.1093/bjps/axn012 [Allori et al. 2008 preprint available online]

·  Aspect, Alain, Jean Dalibard, and Gérard Roger, 1982, “Experimental Test of Bell’s Inequalities Using Time-Varying Analyzers”, Physical Review Letters, 49(25): 1804–1807. doi:10.1103/PhysRevLett.49.1804

·  Bacciagaluppi, Guido and Anthony Valentini, 2009, Quantum Theory at the Crossroads: Reconsidering the 1927 Solvay Conference, Cambridge: Cambridge University Press.

·  Barbour, Julian, 1999, The End of Time, Oxford: Oxford University Press.

·  Becker, Adam, 2018, What is Real?, New York: Basic Books.

·  Bell, John S., 1964, “On the Einstein-Podolsky-Rosen Paradox”, Physics, 1(3): 195–200. Reprinted in Bell 1987c: 14–21 and in Wheeler and Zurek 1983: 403–408.

·  –––, 1966, “On the Problem of Hidden Variables in Quantum Theory”, Reviews of Modern Physics, 38(3): 447–452. doi:10.1103/RevModPhys.38.447 Reprinted in Bell 1987c: 1–13 and in Wheeler and Zurek 1983: 397–402.

·  –––, 1980, “De Broglie-Bohm, Delayed-Choice Double-Slit Experiment, and Density Matrix”, International Journal of Quantum Chemistry, 18(S14): 155–159. 10.1002/qua.560180819 Reprinted in Bell 1987c: 111–116.

·  –––, 1981a, “Bertlmann’s Socks and the Nature of Reality”, Journal de Physique Colloques, 42(C2): 41–62. doi:10.1051/jphyscol:1981202 Reprinted in Bell 1987c: 139–158.

·  –––, 1981b, “Quantum Mechanics for Cosmologists”, in Quantum Gravity 2: A Second Oxford Symposium, C. Isham, Roger Penrose, D.W. Schiama (eds.), Oxford: Clarendon Press, pp. 611–637. Reprinted in Bell 1987c: 117–138.

·  –––, 1982, “On the Impossible Pilot Wave”, Foundations of Physics, 12(10): 989–999. doi:10.1007/BF01889272 Reprinted in Bell 1987c: 159–168.

·  –––, 1987a, “Are There Quantum Jumps?”, Schrödinger: Centenary of a Polymath, Cambridge: Cambridge University Press, pp. 41–52. Reprinted in Bell 1987c: 201–212.

·  –––, 1987b, “Beables for Quantum Field Theory”, in Quantum Implications: Essays in Honour of David Bohm, Basil J. Hiley and F. David Peat, New York: Routledge & Kegan Paul in association with Methuen, pp. 227–234. Reprinted in Bell 1987c: 173–180.

·  –––, 1987c, Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics, Cambridge: Cambridge University Press.

·  –––, 1989, “Six Possible Worlds of Quantum Mechanics”, in Possible Worlds in Humanities, Arts and Sciences: Proceedings of Noble Symposium 65, Sture Allén (ed.), held August 11–15, 1986, Berlin: Walter de Gruyter, pp. 359–373. Reprinted in Bell 1987c: 181–195.

·  Beller, Mara, 1999, Quantum Dialogue: The Making of a Revolution, Chicago: University of Chicago Press.

·  Berndl, Karin, M. Daumer, Detlef Dürr, Sheldon Goldstein, and Nino Zanghì, 1995, “A Survey of Bohmian Mechanics”, Il Nuovo Cimento B, 110(5): 737–750. doi:10.1007/BF02741477 [Berndl, Daumer et al. 1995 preprint available online]

·  Berndl, Karin, Detlef Dürr, Sheldon Goldstein, G. Peruzzi, and Nino Zanghì, 1995, “On the Global Existence of Bohmian Mechanics”, Communications in Mathematical Physics, 173(3): 647–673. [Berndl, Dürr et al. 1995 available online]

·  Berndl, Karin, Detlef Dürr, Sheldon Goldstein, and Nino Zanghì, 1996, “Nonlocality, Lorentz Invariance, and Bohmian Quantum Theory”, Physical Review A, 53(4): 2062–2073. doi:10.1103/PhysRevA.53.2062 [Berndl, Dürr et al. 1996 draft available online]

·  Bohm, David, 1952, “A Suggested Interpretation of the Quantum Theory in Terms of ‘Hidden’ Variables, I and II”, Physical Review, 85(2): 166–193. doi:10.1103/PhysRev.85.166

·  –––, 1953, “Proof that Probability Density Approaches |ψ|2

·  in Causal Interpretation of Quantum Theory”, Physical Review, 89(2): 458–466. doi:10.1103/PhysRev.89.458

·  –––, 1980, Wholeness and the Implicate Order, New York: Routledge.

·  Bohm, David and Basil J. Hiley, 1993, The Undivided Universe: An Ontological Interpretation of Quantum Theory, London: Routledge & Kegan Paul.

·  Born, Max, 1926, “Zur Quantenmechanik der Stoßvorgänge”, Zeitschrift für Physik, 37(12): 863–867. doi:10.1007/BF01397477 English translation “Quantum Mechanics of Collision Processes”, in Gunter Ludwig (ed.), 1968, Wave Mechanics: Selected Readings in Physics, Oxford: Pergamon Press: 206–225.

·  –––, 1949, Natural Philosophy of Cause and Chance, Oxford: Oxford University Press.

·  Bricmont, Jean, 2016, Making Sense of Quantum Mechanics, Cham: Springer.

·  –––, 2018, Quantum Sense and Nonsense, Cham: Springer.

·  Brown, Harvey R. and David Wallace, 2005, “Solving the Measurement Problem: De Broglie-Bohm loses out to Everett”, Foundations of Physics, 35(4): 517–540. doi:10.1007/s10701-004-2009-3

·  de Broglie, Louis, 1928, “La nouvelle dynamique des quanta”, in Solvay 1928, pp. 105–132.

·  Bush, John W.M., 2015, “The New Wave of Pilot-wave Theory”, Physics Today, 68(8): 47–53. doi:10.1063/PT.3.2882

·  Couder, Yves and Emmanuel Fort, 2006, “Single-Particle Diffraction and Interference at a Macroscopic Scale”, Physical Review Letters, 97: 154101. doi:10.1103/PhysRevLett.97.154101

·  Cushing, James T., 1994, Quantum Mechanics: Historical Contingency and the Copenhagen Hegemony, Chicago: University of Chicago Press.

·  Cushing, James T., Arthur Fine, and Sheldon Goldstein (eds), 1996, Bohmian Mechanics and Quantum Theory: An Appraisal, (Boston Studies in the Philosophy of Science, Volume 184), Boston: Kluwer Academic Publishers.

·  Daumer, Martin, Detlef Dürr, Sheldon Goldstein, and Nino Zanghì, 1997a, “Naive Realism About Operators”, Erkenntnis, 45(2): 379–397. doi:10.1007/BF00276801 [Daumer et al. 1997a preprint available online]

·  –––, 1997b, “On the Quantum Probability Flux Through Surfaces”, Journal of Statistical Physics, 88(3): 967–977. doi:10.1023/B:JOSS.0000015181.86864.fb [Daumer et al. 1997b preprint available online]

·  Davies, E.B., 1976, Quantum Theory of Open Systems, London: Academic Press.

·  Deotto, E. and G.C. Ghirardi, 1998, “Bohmian Mechanics Revisited”, Foundations of Physics, 28(1): 1–30. doi:10.1023/A:1018752202576

·  Deutsch, David, 1996, “Comment on Lockwood”, British Journal for the Philosophy of Science, 47(2): 222–228. doi:10.1093/bjps/47.2.222

·  Dürr, Detlef and Stefan Teufel, 2009, Bohmian Mechanics: The Physics and Mathematics of Quantum Theory, Berlin: Springer-Verlag.

·  Dürr, Detlef, Sheldon Goldstein, and Nino Zanghì, 1992a, “Quantum Equilibrium and the Origin of Absolute Uncertainty”, Journal of Statistical Physics, 67(5): 843–907. doi:10.1007/BF01049004 [Dürr et al. 1992a preprint available online]

·  –––, 1992b, “Quantum Chaos, Classical Randomness, and Bohmian Mechanics”, Journal of Statistical Physics, 68(1): 259–270. doi:10.1007/BF01048845 [Dürr et al. 1992b available (in Postscript) online]

·  –––, 1997, “Bohmian Mechanics and the Meaning of the Wave Function”, in R.S. Cohen, M. Horne, and J. Stachel (eds), Experimental Metaphysics—Quantum Mechanical Studies for Abner Shimony, Volume One, (Boston Studies in the Philosophy of Science 193), Boston: Kluwer Academic Publishers. [Dürr et al. 1997 preprint available online]

·  –––, 2009, “On the Weak Measurement of Velocity in Bohmian Mechanics”, Journal of Statistical Physics, 134(5): 1023–1032. doi:10.1007/s10955-008-9674-0 [Dürr et al. 2009 preprint available online]

·  –––, 2020a, “Quantum Motion on Shape Space and the Gauge Dependent Emergence of Dynamics and Probability in Absolute Space and Time”, Journal of Statistical Physics, 180: 92–134. doi:10.1007/s10955-019-02362-9 [Dürr et al. 2020a preprint available online]

·  Dürr, Detlef, Sheldon Goldstein, Karin Münch-Berndl, and Nino Zanghì, 1999, “Hypersurface Bohm-Dirac Models”, Physical Review A, 60(4): 2729–2736. doi:10.1103/PhysRevA.60.2729 [Dürr et al. 1999 preprint available online]

·  Dürr, Detlef, Sheldon Goldstein, Travis Norsen, Ward Struyve, and Nino Zanghì, 2014, “Can Bohmian Mechanics Be Made Relativistic?”, Proceedings of The Royal Society A, 470: 20130699. doi:10.1098/rspa.2013.0699 [Dürr et al. 2014 preprint available online]

·  Dürr, Detlef, Sheldon Goldstein, Stefan Teufel, and Nino Zanghì, 2000, “Scattering Theory from Microscopic First Principles”, Physica A, 279(1–4): 416–431. doi:10.1016/S0378-4371(99)00523-3

·  Dürr, Detlef, Sheldon Goldstein, Roderich Tumulka, and Nino Zanghì, 2004, “Bohmian Mechanics and Quantum Field Theory”, Physical Review Letters, 93(9): 1–4. doi:10.1103/PhysRevLett.93.090402 [Dürr et al. 2004 preprint available online]

·  –––, 2005, “Bell-Type Quantum Field Theories”, Journal of Physics A: Mathematical and General, 38(4): R1–R43. doi:10.1088/0305-4470/38/4/R01[Dürr et al. 2005 preprint available online]

·  Dürr, Detlef, Sheldon Goldstein, James Taylor, Roderich Tumulka, and Nino Zanghì, 2006, “Topological Factors Derived From Bohmian Mechanics”, Annales Henri Poincaré, 7: 791–807. [Dürr et al. 2006 preprint available online]

·  Dürr, Detlef, Sheldon Goldstein, Stefan Teufel, Roderich Tumulka, and Nino Zanghì, 2020b, “Bohmian Trajectories for Hamiltonians with Interior-Boundary Conditions”, Journal of Statistical Physics, 180: 34–73. doi:10.1007/s10955-019-02335-y [Dürr et al. 2020b preprint available online]

·  Dürr, Detlef and Ward Struyve, 2020, “Typicality in the Foundations of Statistical Physics and Born’s rule”, in V.Allori, A. Bassi, D. Dürr and N. Zanghì (eds), Do Wave Functions Jump? Perspectives of the Work of GianCarlo Ghirardi, Cham: Springer, pp. 35–43. [Dürr & Struyve 2020 preprint available online]

·  Eberhard, P.H., 1978, “Bell’s Theorem and the Different Concepts of Locality”, Il Nuovo Cimento B, 46(2): 392–419. doi:10.1007/BF02728628

·  Einstein, Albert, 1949, “Reply to Criticisms”, in Albert Einstein, Philosopher-Scientist, Paul Arthur Schilpp (ed.), Evanston, IL: Library of Living Philosophers, pp. 663–688.

·  Einstein, Albert, Boris Podolsky, and Nathan Rosen, 1935, “Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality be Considered Complete?”, Physical Review, 47(10): 777–780. doi:10.1103/PhysRev.47.777

·  Everett, Hugh III, 1957, “‘Relative State’ Formulation of Quantum Mechanics”, Reviews of Modern Physics, 29(3): 454–462. doi:10.1103/RevModPhys.29.454

·  Falciano, F.T., N. Pinto-Neto, and W. Struyve, 2015, “Wheeler-DeWitt Quantization and Singularities”, Physical Review D, 91(4): 043524. doi:10.1103/PhysRevD.91.043524 [Falciano et al. 2015 preprint available online]

·  Feynman, Richard P., 1967, The Character of Physical Law, Cambridge, MA: MIT Press.

·  Feynman, Richard P., Robert B. Leighton, and Matthew Sands, 1963, The Feynman Lectures on Physics, I, New York: Addison-Wesley.

·  Giustina, Marissa et al., 2015, “Significant-Loophole-Free Test of Bell’s Theorem with Entangled Photons”, Physical Review Letters, 115: 250401. doi:10.1103/PhysRevLett.115.250401

·  Gleason, Andrew M., 1957, “Measures on the Closed Subspaces of a Hilbert Space”, Indian University Mathematics Journal, 6(4): 885–893. doi:10.1512/iumj.1957.6.56050

·  Goldstein, Sheldon, 2001, “Boltzmann’s Approach to Statistical Mechanics”, in J. Bricmont, D. Dürr, M.C. Galavotti, G. Ghirardi, F. Petruccione, Nino Zanghì (eds), Chance in Physics: Foundations and Perspectives, (Lecture Notes in Physics 574), Berlin: Springer-Verlag, pp. 39–54. doi:10.1007/3-540-44966-3_3 [Goldstein 2001 preprint available online]

·  Goldstein, Sheldon, 2012, “Typicality and Notions of Probability in Physics”, in Y. Ben-Menahem and M. Hemmo (eds), Probability in Physics, Berlin: Springer-Verlag, pp. 59–71. [Goldstein 2012 preprint available online]

·  Goldstein, Sheldon, Travis Norsen, Daniel Victor Tausk, and Nino Zanghì, 2011, “Bell’s Theorem”, Scholarpedia , 6(10): 8378, revision #91049. doi:10.4249/scholarpedia.8378 URL = <http://www.scholarpedia.org/article/Bell%27s_theorem>

·  Goldstein, Sheldon and Ward Struyve, 2007, “On the Uniqueness of Quantum Equilibrium in Bohmian Mechanics”, Journal of Statistical Physics, 128(5): 1197–1209. doi:10.1007/s10955-007-9354-5 [Goldstein & Struyve 2007 preprint available online]

·  Goldstein, Sheldon and Stefan Teufel, 2001, “Quantum Spacetime without Observers: Ontological Clarity and the Conceptual Foundations of Quantum Gravity”, in C. Callender and N. Huggett (eds), Physics meets Philosophy at the Planck Scale, Cambridge: Cambridge University Press. [Goldstein & Teufel 2001 preprint available online]

·  Goldstein, Sheldon and Roderick Tumulka, 2003, “Opposite Arrows of Time Can Reconcile Relativity and Nonlocality”, Classical and Quantum Gravity, 20(3): 557–564. doi:10.1088/0264-9381/20/3/311 [Goldstein & Tumulka 2003 preprint available online]

·  Hall, Michael J.W., Dirk-André Deckert, and Howard M. Wiseman, 2014, “Quantum Phenomena Modeled by Interactions between Many Classical Worlds”, Physical Review X, 4(4): 041013. doi:10.1103/PhysRevX.4.041013

·  Heisenberg, Werner, 1955, “The Development of the Interpretation of the Quantum Theory”, in W. Pauli (ed.), Niels Bohr and the Development of Physics: Essays Dedicated to Niels Bohr on the Occasion of his Seventieth Birthday, New York: McGraw-Hill, pp. 12–29.

·  Hemmick, Douglas L. and Asif M. Shakur, 2012, Bell’s Theorem and Quantum Realism: Reassessment in Light of the Schrödinger Paradox, New York: Springer.

·  Hensen, B. et al., 2015, “Loophole-free Bell Inequality Violation Using Electron Spins Separated by 1.3 Kilometers”, Nature, 526: 682–686. doi:10.1038/nature15759

·  Holland, Peter R., 1993, The Quantum Theory of Motion, Cambridge: Cambridge University Press.

·  Kochen, Simon and E.P. Specker, 1967, “The Problem of Hidden Variables in Quantum Mechanics”, Indiana University Journal of Mathematics, 17(1): 59–87.

·  Kocsis, Sacha, Boris Braverman, Sylvain Ravets, Martin J. Stevens, Richard P. Mirin, L. Krister Shalm, and Aephraim M. Steinberg, 2011, “Observing the Average Trajectories of Single Photons in a Two-Slit Interferometer”, Science, 332: 1170–1173. doi:10.1126/science.1202218

·  Leavens, C. Richard, 1996, “The ‘Tunneling-Time Problem’ for Electrons”, in Cushing et al. 1996: 111–129. doi:10.1007/978-94-015-8715-0_8

·  Leggett, A.J., 2002, “Testing the Limits of Quantum Mechanics: Motivation, State of Play, Prospects”, Journal of Physics: Condensed Matter, 14(15): R415–451. doi:10.1088/0953-8984/14/15/201

·  –––, 2005, “The Quantum Measurement Problem”, Science, 307(5711): 871–872. doi:10.1126/science.1109541

·  Leinass, J. and J. Myrheim, 1977, “On the Theory of Identical Particles”, Il Nuovo Cimento, 37B: 1–23.

·  Lewis, Peter J., 2007, “Empty Waves in Bohmian Quantum Mechanics”, British Journal for the Philosophy of Science, 58(4): 787–803. doi:10.1093/bjps/axm039

·  Mahler, Dylan H., Lee Rozema, Kent Fisher, Lydia Vermeyden, Kevin J. Resch, Howard M. Wiseman, and Aephraim Steinberg, 2016, “Experimental Nonlocal and Surreal Bohmian Trajectories”, Science Advances, 2(2), 1501466. doi:10.1126/sciadv.1501466

·  Marian, D., Nino Zanghì, and Xavier Oriols, 2016, “Weak Values from Displacement Currents in Multiterminal Electron Devices”, Physical Review Letters, 116: 110404. doi:10.1103/PhysRevLett.116.110404 [Marian et al. 2016 preprint available online]

·  Maudlin, Tim, 1994, Quantum Non-Locality and Relativity: Metaphysical Intimations of Modern Physics, Cambridge, MA: Blackwell.

·  –––, 2010, “Can the World be Only Wavefunction?”, in Saunders et al. 2010: 121–143. doi:10.1093/acprof:oso/9780199560561.003.0005

·  –––, 2014, “What Bell Did”, Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 47: 424010. doi:10.1088/1751-8113/47/42/424010

·  –––, 2019, Philosophy of Physics: Quantum Theory, Princeton: Princeton University Press.

·  Mermin, N. David, 1993, “Hidden Variables and the Two Theorems of John Bell”, Reviews of Modern Physics, 65(3): 803–815. doi:10.1103/RevModPhys.65.803

·  Nelson, Edward, 1985, Quantum Fluctuations, Princeton: Princeton University Press.

·  Nerukh, Dmitry and John H. Frederick, 2000, “Multidimensional Quantum Dynamics with Trajectories: a Novel Numerical Implementation of Bohmian Mechanics”, Chemical Physics Letters, 332(1–2): 145–153. doi:10.1016/S0009-2614(00)01241-0

·  Nikolic, H., 2005, “Relativistic Quantum Mechanics and the Bohmian Interpretation”, Foundations of Physics Letters, 18(6): 549–561. doi:10.1007/s10702-005-1128-1

·  Norsen, Travis, 2011, “John S. Bell’s Concept of Local Causality”, American Journal of Physics, 79: 1261–1275. doi:10.1119/1.3630940

·  –––, 2013, “The Pilot-wave Perspective on Quantum Scattering and Tunneling”, American Journal of Physics, 81: 258–266. doi:10.1119/1.4792375

·  –––, 2014, “The Pilot-wave Perspective on Spin”, American Journal of Physics, 82: 337–348. doi:10.1119/1.4848217

·  Norsen, Travis, 2017, Foundations of Quantum Mechanics, Cham: Springer.

·  Oriols, Xavier and Jordi Mompart (eds), 2012, Applied Bohmian Mechanics: From Nanoscale Systems to Cosmology, Singapore: Pan Stanford Publishing.

·  Pauli, W., 1928, “Discussion of Mr de Broglie’s report”, in Solvay 1928: 280–282.

·  Penrose, Roger, 2005, The Road to Reality, New York: Alfred A. Knopf.

·  Philippidis, C., C. Dewdney, and B.J. Hiley, 1979, “Quantum Interference and the Quantum Potential”, Il Nuovo Cimento B, 52(1): 15–28. doi:10.1007/BF02743566

·  Putnam, Hilary, 1965, “A Philosopher Looks at Quantum Mechanics”, reprinted in his 1975, Philosophical Papers, vol. 1, Mathematics, Matter and Method, Cambridge: Cambridge University Press, pp. 130–58.

·  –––, 2005, “A Philosopher Looks at Quantum Mechanics (Again)”, British Journal for the Philosophy of Science, 56(4): 615–634. doi:10.1093/bjps/axi135

·  Saunders, Simon, Jonathan Barrett, Adrian Kent, and David Wallace (eds), 2010, Many Worlds? Everett, Quantum Theory, & Reality, Oxford: Oxford University Press. doi:10.1093/acprof:oso/9780199560561.001.0001

·  Schrödinger, E., 1935, “Die gegenwärtige Situation in der Quantenmechanik”, Die Naturwissenschaften, 23: 807–812, 823–828, 844–849; English translation by John D. Trimmer, 1980, “The Present Situation in Quantum Mechanics: A Translation of Schrödinger’s ‘Cat Paradox’ Paper”, Proceedings of the American Philosophical Society, 124(5): 323–338, reprinted in Wheeler and Zurek 1983: 152–167.

·  Sebens, Charles, 2015, “Quantum Mechanics as Classical Physics”, Philosophy of Science, 82(2): 266–291. doi:10.1086/680190

·  Shalm, Lynden K. et al., 2015, “Strong Loophole-Free Test of Local Realism”, Physical Review Letters, 115: 250402. doi:10.1103/PhysRevLett.115.250402

·  Solvay Congress (1927), 1928, Electrons et Photons: Rapports et Discussions du Cinquième Conseil de Physique tenu à Bruxelles du 24 au 29 Octobre 1927 sous les Auspices de l’Institut International de Physique Solvay, Paris: Gauthier-Villars.

·  Struyve, Ward, 2010, “Pilot-Wave Theory and Quantum Fields”, Reports on Progress in Physics, 73(1): 106001. doi:10.1088/0034-4885/73/10/106001

·  –––, 2020, “Semi-classical Approximations Based on Bohmian Mechanics”, International Journal of Modern Physics A, 35: 2050070.

·  Teufel, Stefan and Roderich Tumulka, 2005, “Simple Proof for Global Existence of Bohmian Trajectories”, Communications in Mathematical Physics, 258(2): 349–365. doi:10.1007/s00220-005-1302-0 [Teufel & Tumulka 2005 preprint available online]

·  Tumulka, Roderich, 2021, “Bohmian Mechanics”, in Eleanor Knox and Alastair Wilson (eds), 2021, The Routledge Companion to the Philosophy of Physics, Routledge. [Tumulka 2021 preprint available online]

·  Valentini, Antony, 1991, “Signal-Locality, Uncertainty and the Subquantum H

·  -Theorem. II”, Physics Letters A, 158(1–2): 1–8. doi:10.1016/0375-9601(91)90330-B

·  –––, 1997, “On Galilean and Lorentz Invariance in Pilot-Wave Dynamics”, Physics Letters A, 228(4–5): 215–222. doi:10.1016/S0375-9601(97)00101-1

·  –––, 2010a, “Inflationary Cosmology as a Probe of Primordial Quantum Mechanics”, Physical Review D, 82(6): 063513. doi:10.1103/PhysRevD.82.063513

·  –––, 2010b, “De Broglie-Bohm Pilot-Wave Theory: Many Worlds in Denial?”, in Saunders et al. 2010: 476–509. doi:10.1093/acprof:oso/9780199560561.003.0019

·  Valentini, Antony and Hans Westman, 2005, “Dynamical Origin of Quantum Probabilities”, Proceedings of the Royal Society A, 461(2053): 253–272. doi:10.1098/rspa.2004.1394

·  von Neumann, J., 1932, Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik, Berlin: Springer Verlag; English translation by R.T. Beyer, 1955, Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, Princeton: Princeton University Press.

·  Weihs, Gregor, Thomas Jennewein, Christoph Simon, Harald Weinfurter, and Anton Zeilinger, 1998, “Violation of Bell’s Inequality under Strict Einstein Locality Conditions”, Physical Review Letters, 81: 5039. doi:10.1103/PhysRevLett.81.5039

·  Wheeler, John Archibald and Wojciech Hubert Zurek (eds), 1983, Quantum Theory and Measurement (Princeton Series in Physics), Princeton: Princeton University Press.

·  Wigner, Eugene P., 1976, “Interpretation of Quantum Mechanics”, lecture notes; revised and printed in Wheeler and Zurek 1983: 260–314.

·  –––, 1983, “Review of Quantum Mechanical Measurement Problem”, in Pierre Meystre, and Marian O. Scully (eds), Quantum Optics, Experimental Gravity and Measurement Theory, New York: Plenum Press. doi:10.1007/978-1-4613-3712-6_3

·  Wiseman, H.M., 2007, “Grounding Bohmian Mechanics in Weak Values and Bayesianism”, New Journal of Physics, 9: 165. doi:10.1088/1367-2630/9/6/165

·  Wyatt, Robert E., 2006, Quantum Dynamics with Trajectories, New York: Springer.

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